MATEMANIJA

Zadatak je 2476. na stranici 220 iz zbirke od Ušćumlića, rješenje je [inlmath]a[/inlmath]. Zadatak treba riješiti upotrebom Lopitalovog pravila.
[dispmath]\lim_{x\to\infty}x\cdot\ln{x}\left\{1-\left[\frac{\ln(x-1)}{\ln x}\right]^a\right\}[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{1-\left[\frac{\ln(x-1)}{\ln x}\right]^a}{\frac{1}{x\cdot\ln{x}}}[/dispmath] Sada imam oblik [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath] pa primjenim Lopitalovo pravilo i dobijem:
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{xa\ln^{a-1}(x-1)\bigl(x\ln x-(x-1)\ln(x-1)\bigr)}{(x-1)(\ln x+1)\ln^{a-1}x}[/dispmath] Mislim da nisam pogriješio u izvodu, ali ne znam šta da radim dalje, izraz mi je previše komplikovan da ponovo pokušam da primjenim Lopitala.

Izvod je dobar, s tim da nisi morao da [inlmath]\left[\frac{\ln(x-1)}{\ln x}\right]^{a-1}[/inlmath] razdvajaš na brojilac i imenilac. Može se lako pokazati da [inlmath]\frac{\ln(x-1)}{\ln x}[/inlmath] teži jedinici, bilo preko Lopitala, bilo preko [inlmath]\frac{\ln(x-1)}{\ln x}=\frac{\ln(x-1)-\ln x+\ln x}{\ln x}=\frac{\ln\frac{x-1}{x}+\ln x}{\ln x}=\frac{\ln\frac{x-1}{x}}{\ln x}+1[/inlmath].

Dakle, izraz koji si dobio napišeš kao
[dispmath]a\lim_{x\to\infty}\cancelto{1}{\frac{x}{x-1}}\cdot\cancelto{1}{\left[\frac{\ln(x-1)}{\ln x}\right]^{a-1}}\cdot\frac{x\ln x-(x-1)\ln(x-1)}{\ln x+1}[/dispmath] Na ovaj preostali razlomak dvaput primeniš Lopitala (prvi put imaš oblik [inlmath]\frac{\infty}{\infty}[/inlmath], a drugi put oblik [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath]).

Zahvaljujem