MATEMANIJA

1. Zadatak (ne znam kako da pocnem)

Neka je funckija [inlmath]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/inlmath] definisana sa:
[dispmath]f(x)=\begin{cases}
x^2\sin\left(x^{-1}\right), & x<0\\
A, & x=0\\
\sqrt{3x+1}-B(x+1), & x>0
\end{cases}[/dispmath] Ako postoje [inlmath]A,B\gt0[/inlmath] za koje je funkcija [inlmath]f[/inlmath] neprekidna na [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath].

Problem je u tome sto ne znam kako da uradim
[dispmath]\lim_{x\to0^-}=x^2\sin\left(x^{-1}\right)[/dispmath] preciznije
[dispmath]\lim_{x\to0^-}=\sin\left(\frac{1}{x}\right)[/dispmath]

Nema razloga da te ovakav limes buni. Ajmo da razmišljamo čisto logički... Izraz [inlmath]\frac{1}{x}[/inlmath] teži [inlmath]\infty[/inlmath] kada [inlmath]x[/inlmath] teži nuli (to je jasno). Ali, šta se dešava sa sinusom kada ceo izraz teži beskonačnosti? Sinus će uvek biti između [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] koliko [inlmath]\frac{1}{x}[/inlmath] bilo veliko (ili malo). Drugim rečima, u "prvom" limesu koji si napisao ćeš imati proizvod nule i nekog konačnog broja.

A i možeš, kada te ovako nešto buni, uvesti smenu [inlmath]\frac{1}{x}=t[/inlmath], pa onda [inlmath]\lim\limits_{x\to0}x^2\sin\frac{1}{x}[/inlmath] postaje [inlmath]\lim\limits_{t\to\infty}\frac{\sin t}{t^2}[/inlmath]. Količnik konačne i beskonačne veličine.

BTW nepotrebna ti je zagrada u izrazu [inlmath]\sin\left(\frac{1}{x}\right)[/inlmath]. Dovoljno je napisati [inlmath]\sin\frac{1}{x}[/inlmath].