MATEMANIJA

[dispmath]\lim_{x\to+\infty}x\left(\text{arctg }\frac{x+1}{x+2}-\frac{\pi}{4}\right)[/dispmath] Rešenje: [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath]

---

Radim smenu:
[dispmath]\text{arctg }\frac{x+1}{x+2}-\frac{\pi}{4}=t[/dispmath] i tada dobijem
[dispmath]x=\frac{2\text{ tg}\left(t+\frac{\pi}{4}\right)-1}{1-\text{tg}\left(t+\frac{\pi}{4}\right)}[/dispmath] Sada vratim:
[dispmath]\lim_{t\to\ ?}\frac{2\text{ tg}\left(t+\frac{\pi}{4}\right)-1}{1-\text{tg}\left(t+\frac{\pi}{4}\right)}\cdot t[/dispmath] Čemu teži [inlmath]t[/inlmath] kako to da zaključim? I nisam siguran kako da završim zadatak do kraja...

Zapiši limes u obliku: [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\text{arctg }\frac{x+1}{x+2}-\frac{\pi}{4}}{1\over x}[/inlmath] i primeni Lopitalovo pravilo.

Izvinjavam se što nisam naglasio, ali mora bez l'Hôpitala, jer nismo učili izvode..

Ojler79532 je napisao:Radim smenu: [dispmath]\text{arctg }\frac{x+1}{x+2}-\frac{\pi}{4}=t[/dispmath] ...

Čemu teži [inlmath]t[/inlmath] kako to da zaključim?

Teži nuli. Pošto [inlmath]x\to\infty[/inlmath], razlomak [inlmath]\frac{x+1}{x+2}[/inlmath] teži jedinici, pa [inlmath]\text{arctg }\frac{x+1}{x+2}[/inlmath] teži [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath]. Kad se od toga oduzme [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath], ostaje nula.

Ali, ne verujem da ta smena može dovesti do rešenja. Ja bih pre ono [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath] napisao kao [inlmath]\text{arctg }1[/inlmath], a zatim bih na [inlmath]\text{arctg }\frac{x+1}{x+2}-\text{arctg }1[/inlmath] primenio [inlmath]\text{arctg }x-\text{arctg }y=\text{arctg }\frac{x-y}{1+xy}[/inlmath] (pogledati ovu temu).