MATEMANIJA

Pozdrav,

Često u zadacima u kojima se od mene traži da odredim graničnu vrednost susrećem malo "o", uglavnom prilikom aproksimacije funkcije Tejlorovom formulom (sa Peanovim ostatkom). U literaturi koju koristim za spremanje teorije jako su šturo opisane asimptotske relacije, bez njihovih aritmetičkih svojstava, koja su mi zapravo jedina potrebna pri rešavanju zadataka. Autor zbirke iz koje vežbam pri objašnjavanju svojih rešenja primenjuje te osobine bez objasnjenja, pa ni tu nisam mogao da pronađem pomoć. Konkretno, zanima me vrednosti izraza kao što su [inlmath]o\left(\frac{1}{n^2}\right)^2[/inlmath], [inlmath]o\left(\frac{1}{n^2}\right)\pm o\left(\frac{1}{n^4}\right)[/inlmath], [inlmath]o\left(\frac{1}{n^2}\right)\cdot o\left(\frac{1}{n^4}\right)[/inlmath]... Nisam siguran kako uopšte možemo primeniti aritmetičke operacije na asimptotske relacije. Ako bude bilo potrebno, mogu da postavim konkretan zadatak, kao i rešenje koje me "buni".

Ideja "malog o" (kao i ostalih asimptotskih relacija) jeste da se uspostavi nekakav relativan poredak među funkcijama po brzini konvergencije u okolini neke tačke. Naredna definicija iz Analize 1 (Adnađević, Kadelburg) precizira to:
Kažemo da je funkcija [inlmath]f[/inlmath] beskonačno mala u odnosu na funkciju [inlmath]g[/inlmath] kada [inlmath]x\to a[/inlmath] i pišemo [inlmath]f=o(g)\quad(x\to a)[/inlmath] ako postoji okolina [inlmath]U[/inlmath] tačke [inlmath]a[/inlmath], takva da je [inlmath]f(x)=\alpha(x)g(x)[/inlmath] za [inlmath]x\in U\setminus\{a\}[/inlmath], gde je [inlmath]\alpha[/inlmath] beskonačno mala mala funkcija kada [inlmath]x\to a[/inlmath].

Kao što vidiš, nema smisla govoriti o asimptotskim relacijama a da se pritom ne navede čemu promenljiva u izrazu teži.

Asimptotske relacije nisu nešto fundamentalno u matematici. One su samo jedna oznaka (ali veoma korisna), koja pomaže pri radu s limesima.
Kada smo već kod oznake, u izrazu [inlmath]f=o(g)\quad(x\to a)[/inlmath] znak [inlmath]=[/inlmath] nije uobičajen znak jednakosti i ne bi trebalo tako da se shvata. Možda će ti lakše biti da izraz [inlmath]f=o(g)\quad(x\to a)[/inlmath] čitaš kao [inlmath]f\in o(g)\quad(x\to a)[/inlmath], odnosno da [inlmath]o(g)[/inlmath] shvatiš kao jednu klasu funkcija koje su mnogo manje od [inlmath]g[/inlmath] u okolini tačke [inlmath]a[/inlmath] (ovo je neprecizna rečenica, nadam se da ti samo daje malo "osećaja").

Oslanjajući se na definiciju, možeš li da dokažeš naredna poznata svojstva "malog o"?

• [inlmath]f\cdot o(g)=o(fg)\quad(x\to a)[/inlmath]
• [inlmath]o(o(f))=o(f)\quad(x\to a)[/inlmath]
• [inlmath]o(f)+o(f)=o(f)\quad(x\to a)[/inlmath]
• [inlmath]C\cdot o(f)=o(f)\quad(x\to a)[/inlmath] gde je [inlmath]C[/inlmath] konstanta

Skripta koju koristim je definisala pomenutu relaciju preko epsilon-delta notacije, koja mi je sada postala jasna nakon čitanja definicija iz knjige koju si pomenuo. Posmatrao sam znak jednakosti u bukvalnom smislu (kao npr. 1=1) i to je bio uzrok moje konfuzije.

Hvala na brzom odgovoru!

Takođe, veoma je korisno upamtiti i naredno tvrđenje (videćeš da ono direktno sledi iz definicije "malog o"):
Ako [inlmath]g\ne 0[/inlmath] u nekoj okolini tačke [inlmath]a[/inlmath], tada [inlmath]f=o(g)\;(x\rightarrow a)[/inlmath] ako i samo ako je [dispmath]\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=0.[/dispmath]