MATEMANIJA

Naći graničnu vrednost
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n+1}{1+3+5+\cdots+(2n-1)}[/dispmath] Rešenje je [inlmath]1[/inlmath].
U ovom zadatku imam problem da izračunam vrednost aritmetičkog niza. Prvi član je jedan, a poslednji [inlmath]2n-1[/inlmath], ali ne znam da odredim broj članova niza. Ako iskoristim formulu [inlmath]a_n=a_1+(n-1)d[/inlmath] dobijem da je [inlmath]0=0[/inlmath]. Gde je greška? Hvala!

Ovaj zadatak može da se uradi primenom formule za zbir prvih [inlmath]n[/inlmath] prirodnih brojeva.
Prvo odredimo sumu koja se nalazi u imeniocu: [inlmath]\displaystyle\sum_{k=1}^n(2k-1)=\sum_{k=1}^n2k-\sum_{k=1}^n1=2\cdot\sum_{k=1}^nk-\sum_{k=1}^n1=\cancel2\cdot\frac{n(n+1)}{\cancel2}-n=n^2+n-n=n^2[/inlmath]
Zatim odredimo limes:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n+1}{1+2+3+\cdots+(2n-1)}=[/dispmath][dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n+1}{n^2}=[/dispmath][dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{1+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}+\cancelto{0}{\frac{1}{n^2}}}{1}=[/dispmath][dispmath]\lim_{n\to\infty}1=[/dispmath][dispmath]1[/dispmath]

Frank je napisao:U ovom zadatku imam problem da izračunam vrednost aritmetičkog niza. Prvi član je jedan, a poslednji [inlmath]2n-1[/inlmath], ali ne znam da odredim broj članova niza.

Ako svaki od članova niza u imeniocu napišemo na sledeći način,
[dispmath]a_1=1=2\cdot{\color{red}1}-1\\
a_2=3=2\cdot{\color{red}2}-1\\
a_3=5=2\cdot{\color{red}3}-1\\
\vdots\\
a_n=2{\color{red}n}-1[/dispmath] mislim da je onda više nego očigledno da je broj članova niza u imeniocu jednak [inlmath]n[/inlmath].

Frank je napisao:Ako iskoristim formulu [inlmath]a_n=a_1+(n-1)d[/inlmath] dobijem da je [inlmath]0=0[/inlmath]. Gde je greška? Hvala!

Nisam razumeo kako si došao do [inlmath]0=0[/inlmath].

[dispmath]2n-1=1+(n-1)\cdot2[/dispmath] Kad malo bolje pogledam i ova formula govori upravo ono što si ti zaključio, da je broj članova [inlmath]n[/inlmath]. Mozda bi bolje bilo da sam na desnoj strani umesto [inlmath]n[/inlmath], pisao, na primer, [inlmath]x[/inlmath]. Dobio bih da je [inlmath]x=n[/inlmath], što se svodi na isto.