MATEMANIJA

Zdravo svima! Imam problem sa sledećim zadatkom - Izračunati
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{n^2}\right)[/dispmath] Uspeo sam malo da sredim činioce, brojilac napišem kao razliku kvadrata, a imenilac kao proizvod dva ista broja.
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{(2-1)(2+1)}{2\cdot2}\cdot\frac{(3-1)(3+1)}{3\cdot3}\cdots\frac{(n-1)(n+1)}{n\cdot n}[/dispmath] Sad nemam nikakvu ideju kako da sredim ovo, pa molim za neku ideju. Hvala unapred!
Rešenje zadatka je [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath].

[dispmath]\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{n^2}\right)=\prod_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\\
=\prod_{k=2}^n\left(\frac{k-1}{k}\right)\left(\frac{k+1}{k}\right)=\prod_{k=2}^n\left(\frac{k-1}{k}\right)\cdot\prod_{k=2}^n\left(\frac{k+1}{k}\right)[/dispmath][dispmath]\prod_{k=2}^n\left(\frac{k-1}{k}\right)=\frac{1\cdot\cancel2\cdot\cancel3\cdots\cancel{(n-1)}}{\cancel2\cdot\cancel3\cdots\cancel{(n-1)}\cdot n}=\frac{1}{n}[/dispmath][dispmath]\prod_{k=2}^n\left(\frac{k+1}{k}\right)=\frac{\cancel3\cdot\cancel4\cdot\cancel5\cdots\cancel{n}\cdot(n+1)}{2\cdot\cancel3\cdot\cancel4\cdots\cancel{(n-1)}\cdot\cancel{n}}=\frac{n+1}{2}[/dispmath][dispmath]\prod_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\frac{n+1}{2n}[/dispmath][dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}{2}=\frac{1}{2}[/dispmath]

Hvala ti puno primus na uloženom trudu i vremenu koje si izdvojio da bi mi pomogao, ali ja zaista ne razumem ovaj tvoj postupak. Ne znam kada se radi ovo gradivo, nisam se još susretao. Jos jednom, hvala!

Možda te zbunuju ove oznake za proizvod? Može i bez njih. Ti si savim lepo krenuo, i došao si do koraka

Frank je napisao:[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{(2-1)(2+1)}{2\cdot2}\cdot\frac{(3-1)(3+1)}{3\cdot3}\cdots\frac{(n-1)(n+1)}{n\cdot n}[/dispmath]

pa hajde onda da nastavimo. Kako bi bilo očiglednije šta se ovde dešava, napišimo još po jedan sabirak pre i posle trotačke:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{(2-1)(2+1)}{2\cdot2}\cdot\frac{(3-1)(3+1)}{3\cdot3}\cdot\frac{(4-1)(4+1)}{4\cdot4}\cdots\frac{\bigl((n-1)-1\bigr)\bigl((n-1)+1\bigr)}{(n-1)\cdot(n-1)}\cdot\frac{(n-1)(n+1)}{n\cdot n}[/dispmath] i sada sračunajmo ove zbirove i razlike:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{1\cdot3}{2\cdot2}\cdot\frac{2\cdot4}{3\cdot3}\cdot\frac{3\cdot5}{4\cdot4}\cdots\frac{(n-2)\cdot n}{(n-1)\cdot(n-1)}\cdot\frac{(n-1)(n+1)}{n\cdot n}[/dispmath] I, šta vidimo? Vidimo da u svakom razlomku (izuzev prvog) prvi broj u brojiocu možemo skratiti s jednim od brojeva u imeniocu prethodnog razlomka; takođe, u svakom razlomku (izuzev poslednjeg) drugi broj u brojiocu možemo skratiti s jednim od brojeva u imeniocu sledećeg razlomka. Nakon ovog „masakra“, ostaće nam relativno lep izraz, čiji limes nije problem pronaći (što je primus i učinio).