MATEMANIJA

Pozdrav! Muči me sledeći zadatak:
Izračunati
[dispmath]\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3+x}-x}[/dispmath] Rešenje: [inlmath]-1[/inlmath]
Do sada, sve zadatke u kojima se trazi granična vrednost funkcije u kojoj figurišu korenovi, sam rešavao "racionalizacijom" istih.
Racionalizacija korena - pomnožiti funkciju (i brojilac i imenilac) odgovarajućim "izrazom" tako da se nakon množenja, u cilju eliminisanja korena, može primeniti formula za razliku kvadrata / kubova.
Tim principom sam se vodio i u rešavanju ovog zadatka, al' nešto neće. Evo postupka:
[dispmath]\begin{align}
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3+x}-x}&=\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt[4]{x^3+x}-x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x}\right)}\\
&=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-x+1}{\left(\sqrt[4]{x^3+x}-x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x}\right)}=\\
&=\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(x^2-x+1\right)\cdot\left(\sqrt[4]{x^3+x}+x\right)}{\left(\sqrt[4]{x^3+x}-x\right)\cdot\left(\sqrt[4]{x^3+x}+x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x}\right)}=\\
&=\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(x^2-x+1\right)\cdot\left(\sqrt[4]{x^3+x}+x\right)}{\left(\sqrt{x^3+x}-x^2\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x}\right)}=
\end{align}\\
\vdots[/dispmath] Daljim racionalisanjem samo komplikujem funkciju...
Obično se nakon racionalisanja "problematični faktor" skrati, pa se limes funkcije lako izračuna. Međutim, to nije slucaj sa zadatkom iz ove teme. Inače, zadatak spada u grupu najlakših pa pretpostavljam da postoji neka metoda za rešavanje sa kojom se još nisam sreo. Imao sam još jednu ideju kako da rešim zadatak - kako [inlmath]n[/inlmath] teži beskonačnosti, najviše bi nam odgovaralo da funkciju svedemo na oblik u kojem figurišu sabirci u obliku razlomka, tj. tada bismo mogli da primenimo osobinu
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0[/dispmath] Da bismo sveli funkciju na ovaj oblik (oblik u kojem figurišu sabirci u obliku razlomka) potrebno je da i brojilac i imenilac podelimo nekom vrednošću (obično najvećim stepenom u imeniocu - na taj način dobijamo vrednost nezavisnu od promenljive [inlmath]x[/inlmath]). Pokušao sam (podelio sam i brojilac i imenilac sa [inlmath]x^{3/4}[/inlmath]) i na ovaj način, ali nisam uspeo.
Svaka pomoć bi mi dobro došla. Hvala!

Možda da pokušaš da izvučeš [inlmath]x[/inlmath], da dobiješ izraz:
[dispmath]\lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{\frac{1}{x}}\right)}{x\left(\sqrt[4]{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}}-1\right)}\\
\lim_{x\to+\infty}\frac{\cancel{x}\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{\frac{1}{x}}\right)}{\cancel{x}\left(\sqrt[4]{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}}-1\right)}\\
\frac{\sqrt{1+0}+\sqrt0}{\sqrt[4]{0+0}-1}=-1[/dispmath]

U školi nas učili da izvučemo [inlmath]x[/inlmath] ispred zagrade, al' ja se pravim pametan pa hoću da delim. U nekim zadacima je svejedno kako ćemo raditi, ali u nekima (kao što je ovaj) nije.

Frank je napisao:potrebno je da i brojilac i imenilac podelimo nekom vrednošću (obično najvećim stepenom u imeniocu - na taj način dobijamo vrednost nezavisnu od promenljive [inlmath]x[/inlmath]). Pokušao sam (podelio sam i brojilac i imenilac sa [inlmath]x^{3/4}[/inlmath])

Sasvim si ispravno rezonovao da i brojilac i imenilac treba podeliti promenljivom [inlmath]x[/inlmath] dignutom na najveći eksponent, ali taj najveći eksponent ovde nije [inlmath]\frac{3}{4}[/inlmath] već upravo [inlmath]1[/inlmath], tj. treba i brojilac i imenilac podeliti sa [inlmath]x[/inlmath], baš kao što ti je Srdjan01 i pokazao.

Srdjan01 je napisao:Možda da pokušaš da izvučeš [inlmath]x[/inlmath], da dobiješ izraz:
[dispmath]\lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{\frac{1}{x}}\right)}{x\left(\sqrt[4]{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}}-1\right)}[/dispmath]

Ovde nije na odmet samo napomenuti da smo ispred korena [inlmath]\sqrt{x^2+1}[/inlmath] izvukli [inlmath]x[/inlmath] zbog toga što [inlmath]x\to+\infty[/inlmath] (tj. teži pozitivnoj vrednosti). Da [inlmath]x[/inlmath] kojim slučajem teži [inlmath]-\infty[/inlmath] (ili, uopšte, bilo kojoj negativnoj vrednosti), tada bismo morali izvući [inlmath]-x[/inlmath] (to si, Srdjane01, vrlo lepo i objasnio u ovom postu).
(Naravno, u ovom konkretnom primeru [inlmath]x[/inlmath] i ne može težiti negativnoj vrednosti, zbog korenova [inlmath]\sqrt x[/inlmath] i [inlmath]\sqrt[4]{x^3+x}[/inlmath].)