MATEMANIJA

Opet ja s limesima. Radio sam dva zadatka nekoliko puta, ali i pored toga nisam uspeo da dobijem rešenja kao u zbirci. S ciljem da mi neko da ukaže na grešku (ako je ima), napisaću postupak rešavanja zadatka.
[dispmath]\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{3x^2}{2x+1}-\frac{(2x-1)\left(3x^2+x+2\right)}{4x^2}\right)=\text{ ?}\\
\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{3x^2}{2x+1}-\frac{(2x-1)\left(3x^2+x+2\right)}{4x^2}\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{12x^4-\left(4x^2-1\right)\left(3x^2+x+2\right)}{4x^2(2x+1)}\right)=\\
=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\cancel{12x^2}-\cancel{12x^4}-4x^3-8x^2+3x^2+x+2}{8x^3+4x^2}\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{-4x^3-5x^2+x+2}{8x^3+4x^2}\right)=\\
=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\cancel{x^3}\left(-4-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3}\right)}{\cancel{x^3}\left(8+\frac{4}{x}\right)}\right)=-\frac{1}{2}[/dispmath] U zbirci piše da je rešenje [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath]. Da je u pitanju jednačina lako bih proverio koje je tačno rešenje, ovo koje sam ja dobio ili ono iz zbirke, ali ovako...

Drugi zadatak u kojem nisam dobio rešenje kao u zbirci:
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\biggl(x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\biggr)=\text{ ?}\\
\lim_{x\to-\infty}\biggl(x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\biggr)=\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}{\sqrt{x^2+1}+x}\right)=\\
=\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{\cancel{x}}{\cancel{x}\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1\right)}\right)=\frac{1}{2}[/dispmath] Međutim, u zbirci piše da je rešenje zadatka [inlmath]-\infty[/inlmath], ali ja ne vidim gde je greška. Hvala unapred!

Koliko vidim, prvi zadatak je ispravan i rezultat mu jeste [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath].
Dok kod ovog drugog zadatka, izračunaj posebno limes svakog člana.
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\biggl(x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\biggr)\\
\lim_{x\to-\infty}(x)\;\land\;\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)[/dispmath] Iz prvog bi trebalo da dobiješ [inlmath]-\infty[/inlmath], dok iz drugog [inlmath]+\infty[/inlmath]. [inlmath]-\infty\cdot(+\infty)=-\infty[/inlmath].

Srdjan01 je napisao:Dok kod ovog drugog zadatka, izračunaj posebno limes svakog člana.

Hoću. Samo me interesuje gde je greška u mom postupku.

Mislim da griješiš ovdje:

Frank je napisao:[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}{\sqrt{x^2+1}+x}\right)=\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{\cancel{x}}{\cancel{x}\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1\right)}\right)=\frac{1}{2}[/dispmath]

Jer, kada izvlačiš [inlmath]x[/inlmath] iz imenioca imaš:
[dispmath]\sqrt{x^2+1}+x\\
\sqrt{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}+x\\
\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+x\\
|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+x[/dispmath] E sada, s obzirom da [inlmath]x[/inlmath] teži u [inlmath]-\infty[/inlmath], [inlmath]|x|=-x[/inlmath].
Onda imaš:
[dispmath]x\left(-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1\right)[/dispmath] Onda bi imao:
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{\cancel{x}}{\cancel{x}\left(-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1\right)}\right)\\
\frac{1}{-\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{0}[/dispmath] Što nije definisano, nadam se da sam ti donekle objasnio, na šta sam mislio.

Srdjan01 je napisao:[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{\cancel{x}}{\cancel{x}\left(-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1\right)}\right)\\
\frac{1}{-\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{0}[/dispmath]

Pri tome, može se uočiti da je [inlmath]\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}[/inlmath] „malo veće“ od jedinice (tj. preciznije rečeno teži jedinici s desne strane), što znači da je [inlmath]-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}[/inlmath] „malo manje“ od [inlmath]-1[/inlmath], a odatle, opet, sledi da je [inlmath]-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1[/inlmath] „malo manje“ od nule, tj. to možemo pisati kao [inlmath]0^-[/inlmath].
Time smo dobili vrednost [inlmath]\frac{1}{0^-}[/inlmath], što je jednako [inlmath]-\infty[/inlmath].