MATEMANIJA

Zadatak glasi:
Izračunati
[dispmath]\lim_{x\to0}\left(\frac{1+\text{tg }x}{1+\sin x}\right)^{\Large\frac{1}{\sin x}}[/dispmath] Rešenje: [inlmath]1[/inlmath]
U ovom zadatku treba primeniti pravilo [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e[/inlmath]. Ne uspevam da funkciju transformišem u oblik na koji mogu primeniti pomenuto pravilo. Moj postupak:
[dispmath]\lim_{x\to0}\left(\frac{1+\text{tg }x}{1+\sin x}\right)^{\Large\frac{1}{\sin x}}=\lim_{x\to0}\left(\frac{1+\frac{\sin x}{\cos x}}{1+\sin x}\right)^{\Large\frac{1}{\sin x}}=\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x\cdot(1+\sin x)}\right)^{\Large\frac{1}{\sin x}}[/dispmath] Da bismo uopšte mogli da primenimo gore navedeno pravilo neophodno je da [inlmath]x[/inlmath] teži beskonačnosti, a ne nuli kao što je u postavci zadatka. Iz tog razloga sam uveo smenu [inlmath]\frac{1}{\sin x}=t,\;t\to\infty[/inlmath]. Međutim, ova smena mi nije donela ništa korisno jer ne znam kako da izrazim [inlmath]\cos x[/inlmath] preko [inlmath]t[/inlmath] (a i da znam, pitanje je da li bih došao do konačnog rešenja). Jedino što mi je palo na pamet (u vezi izražavanja [inlmath]\cos x[/inlmath]-a preko [inlmath]t[/inlmath]) je da iskoristim identitet [inlmath]\sin^2x+\cos^2x=1[/inlmath], ali, s obzirom da je kosinusna funkcija periodična, a [inlmath]x[/inlmath] ne pripada nijednom konkretnom intervalu, ne znam sta bih radio sa znakom ispred korena.
Smernica u kom pravcu da idem bi dobro došla. Hvala!
Verovatno vas gnjavim ovim limesima, al' šta ću kad u školi baš slabo radimo matematiku.

Cak nije ni bilo potrebe da uvodis smjenu, jer [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x[/inlmath] je isto sto i [inlmath]\lim\limits_{x\to0}(1+x)^\frac{1}{x}[/inlmath]. To jest kod oba ces dobiti taj oblik [inlmath]1^\infty[/inlmath]. Ovdje samo trebas da u pocetnom izrazu dodas i oduzmes jedinicu, kako bi dobio jedan plus nesto sto tezi nuli. Ako se ne varam kad iskoristis taj karakteristicni limes, svodi se na resavanje [inlmath]\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}-1\right)\frac{1}{\sin x}[/inlmath]. I onda svodis na zajednicku razlomacku, nakon malo sredjivanja ce se pokratiti sinusi, sto je i bio problematican faktor, i mislim da se za rjesenje dobija [inlmath]1[/inlmath].

Sah je napisao:Cak nije ni bilo potrebe da uvodis smjenu, jer [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x[/inlmath] je isto sto i [inlmath]\lim\limits_{x\to0}(1+x)^\frac{1}{x}[/inlmath].

Taj drugi oblik se upravo i dobije tako što se u prvom obliku uvede smena [inlmath]x=\frac{1}{t}[/inlmath].

Sah je napisao:Ovdje samo trebas da u pocetnom izrazu dodas i oduzmes jedinicu, kako bi dobio jedan plus nesto sto tezi nuli. Ako se ne varam kad iskoristis taj karakteristicni limes, svodi se na resavanje [inlmath]\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}-1\right)\frac{1}{\sin x}[/inlmath]. I onda svodis na zajednicku razlomacku, nakon malo sredjivanja ce se pokratiti sinusi, sto je i bio problematican faktor, i mislim da se za rjesenje dobija [inlmath]1[/inlmath].

Jednostavnije bi bilo limes količnika napisati kao količnik limesa:
[dispmath]\lim_{x\to0}\left(\frac{1+\text{tg }x}{1+\sin x}\right)^{\Large\frac{1}{\sin x}}=\frac{\lim\limits_{x\to0}\left(1+\text{tg }x\right)^{\Large\frac{1}{\sin x}}}{\lim\limits_{x\to0}\left(1+\sin x\right)^{\Large\frac{1}{\sin x}}}[/dispmath] pri čemu se limes u brojiocu može napisati kao
[dispmath]\lim_{x\to0}\left(1+\text{tg }x\right)^{\Large\frac{1}{\sin x}}=\lim_{x\to0}\left(\left(1+\text{tg }x\right)^{\Large\frac{1}{\text{tg }x}}\right)^{\Large\frac{\text{tg }x}{\sin x}}[/dispmath] Eksponent [inlmath]\frac{\text{tg }x}{\sin x}[/inlmath] jednak je [inlmath]\cos x[/inlmath] i kao takav teži jedinici, pa ga ne moramo ni pisati, te za limes u brojiocu ostaje samo [inlmath]\lim\limits_{x\to0}\left(1+\text{tg }x\right)^{\Large\frac{1}{\text{tg }x}}[/inlmath].

Dalje se ovo lako rešava korišćenjem pomenutog oblika limesa [inlmath]\lim\limits_{x\to0}(1+x)^\frac{1}{x}[/inlmath], a čak i da ne znamo za taj oblik, možemo raditi i preko oblika [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x[/inlmath] tako što za limes u brojiocu uvedemo smenu [inlmath]\text{tg }x=\frac{1}{t}[/inlmath], a za limes u imeniocu smenu [inlmath]\sin x=\frac{1}{t}[/inlmath].