Može li mi itko što kraće, a jasnije dokazati da je limes jedinstven ako postoji.

Uf. Teško baš da može da bude kratko, ali potrudiću se, koliko god je u ovom slučaju moguće, da bude makar koliko-toliko jasno.

Pošto se traži precizan dokaz, mora se krenuti i od precizne definicije limesa, a koja glasi:

Ako je zadovoljeno da
[dispmath]\left(\forall\epsilon>0\right)\left(\exists\delta>0\right)\left(x\in D_f\setminus\left\{a\right\}\;\land\;\left|x-a\right|<\delta\quad\Rightarrow\quad\left|f\left(x\right)-b\right|<\epsilon\right)[/dispmath]
tada limes funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] u tački [inlmath]x=a[/inlmath] postoji i iznosi
[dispmath]\lim_{x\to a}f\left(x\right)=b[/dispmath]
Ne znam kako se snalaziš s ovom definicijom... znam da je rogobatna. Evo malog uprošćenja:

[inlmath]\left|x-a\right|<\delta[/inlmath] – kad ovu nejednačinu rešimo po [inlmath]x[/inlmath], dobijemo [inlmath]x\in\left(a-\delta,a+\delta\right)[/inlmath], pa to možemo i tako pisati;
[inlmath]\left|f\left(x\right)-b\right|<\epsilon[/inlmath] – kad ovu nejednačinu rešimo po [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath], dobijemo [inlmath]f\left(x\right)\in\left(b-\epsilon,b+\epsilon\right)[/inlmath], pa to možemo i tako pisati.

Sada se gornja formula može pisati i ovako:
[dispmath]\left(\forall\epsilon>0\right)\left(\exists\delta>0\right)\left[x\in\left(a-\delta,a+\delta\right)\setminus\left\{a\right\}\quad\Rightarrow\quad f\left(x\right)\in\left(b-\epsilon,b+\epsilon\right)\right][/dispmath]

[inlmath]\left(\forall\epsilon>0\right)[/inlmath] znači: koliko god da smanjujemo [inlmath]\epsilon[/inlmath], tj. koliko god da sužavamo interval [inlmath]\left(b-\epsilon,b+\epsilon\right)[/inlmath]...

[inlmath]\left(\exists\delta>0\right)[/inlmath] znači: uvek će postojati neko pozitivno [inlmath]\delta[/inlmath], tj. uvek će postojati neki interval [inlmath]\left(a-\delta,a+\delta\right)[/inlmath]...

Prema tome, formulu iz definicije možemo tumačiti ovako: koliko god da sužavamo interval [inlmath]\left(b-\epsilon,b+\epsilon\right)[/inlmath], uvek će postojati neki interval [inlmath]\left(a-\delta,a+\delta\right)[/inlmath] takav da će funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] preslikavati sve vrednosti iz intervala [inlmath]\left(a-\delta,a+\delta\right)[/inlmath] (osim same vrednosti [inlmath]x=a[/inlmath]) u interval [inlmath]\left(b-\epsilon,b+\epsilon\right)[/inlmath].
E, i onda, ako je taj iskaz zadovoljen, tada limes u tački [inlmath]x=a[/inlmath] postoji i jednak je [inlmath]b[/inlmath].
Nadam se da je s ovom ilustracijom definicija kol'ko-tol'ko jasna?

---

I onda, kad znamo definiciju, krećemo u dokazivanje da je limes, ako postoji, jedinstven.

Pretpostavimo suprotno, da limes nije jedinstven, tj. da postoje dva limesa:
[dispmath]\lim_{x\to a}f\left(x\right)=b_1,\quad\lim_{x\to a}f\left(x\right)=b_2,\quad b_1<b_2[/dispmath]
Tada iz definicije limesa sledi da je uslov za postojanje limesa da za svako [inlmath]\epsilon[/inlmath] bude zadovoljeno sledeće:
[dispmath]x\in\left(a-\delta_1,a+\delta_1\right)\quad\Rightarrow\quad f\left(x\right)\in\left(b_1-\epsilon,b_1+\epsilon\right)[/dispmath]
i
[dispmath]x\in\left(a-\delta_2,a+\delta_2\right)\quad\Rightarrow\quad f\left(x\right)\in\left(b_2-\epsilon,b_2+\epsilon\right)[/dispmath]
a iz toga bi sledilo da, ako definišemo [inlmath]\delta=\min\left(\delta_1,\delta_2\right)[/inlmath],
[dispmath]x\in\left(a-\delta,a+\delta\right)\quad\Rightarrow\quad f\left(x\right)\in\left(b_1-\epsilon,b_1+\epsilon\right)\;\land\;f\left(x\right)\in\left(b_2-\epsilon,b_2+\epsilon\right)[/dispmath]
tj.
[dispmath]x\in\left(a-\delta,a+\delta\right)\quad\Rightarrow\quad f\left(x\right)\in\left(b_1-\epsilon,b_1+\epsilon\right)\cap\left(b_2-\epsilon,b_2+\epsilon\right)[/dispmath]
Da bi ovo bilo zadovoljeno, tj. da bi limes postojao, [inlmath]\left(b_1-\epsilon,b_1+\epsilon\right)\cap\left(b_2-\epsilon,b_2+\epsilon\right)[/inlmath] ne sme biti prazan skup, tj. intervali [inlmath]\left(b_1-\epsilon,b_1+\epsilon\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(b_2-\epsilon,b_2+\epsilon\right)[/inlmath] moraju imati neprazan presek za svako [inlmath]\epsilon[/inlmath]. Međutim, lako se može pokazati da postoji [inlmath]\epsilon[/inlmath] za koje ovo neće biti zadovoljeno, tj. za koje će ta dva intervala biti disjunktna. To se dešava kada je desna granica prvog intervala manja ili jednaka od leve granice drugog intervala:
[dispmath]b_1+\epsilon\le b_2-\epsilon[/dispmath][dispmath]2\epsilon\le b_2-b_1[/dispmath][dispmath]\epsilon\le\frac{b_2-b_1}{2}[/dispmath]
Prema tome, nije zadovoljen uslov da gornja tvrdnja važi za svako [inlmath]\epsilon\;\Rightarrow[/inlmath] limes ne postoji [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] kontradikcija.

Uh Mislim da mi je sada jasno. Hvala