MATEMANIJA

Zadatak glasi:
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2-1}{x^2+x+1}\right)^\frac{x^2+x-5}{-2x-4}[/dispmath]
Ovde sam prvo imao ideju da izraz svedem na Ojlerov oblik: [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=e[/inlmath] ali nisam uspeo. Jedino što mi pada na pamet jeste da odredim limes u zagradi, što je [inlmath]1[/inlmath] pa na ceo taj razlomak, što je sigurno pogrešno.

Dobra je ideja. Podeli polinome u zagradi, dobićeš [inlmath]1+\frac{1}{\text{nešto}}[/inlmath].

A granična vrednost na koju se pozivaš je zapravo:
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e[/dispmath]

Ili, brojilac unutar zagrade napišeš kao imenilac uvećan za neki izraz koji ga „dopunjuje“ do prvobitnog brojioca, to jest:
[dispmath]\frac{x^2-1}{x^2+x+1}=\frac{x^2+x+1-x-2}{x^2+x+1}=\frac{x^2+x+1+(-x-2)}{x^2+x+1}=1+\frac{-x-2}{x^2+x+1}=1+\frac{1}{\frac{x^2+x+1}{-x-2}}[/dispmath] Vrlo je sličan princip i kod ostalih zadataka ovog tipa.

Na kraju sam dobio rešenje:
[dispmath]e^\frac{x^2+x-5}{2\left(x^2+x+1\right)}[/dispmath] Mada mi je malo sumnjivo, pošto obično dobijem [inlmath]e[/inlmath] na neki broj, a ne na razlomak kao što je u ovom slučaju.
Evo i konačnog postupka:
[dispmath]\left(1+\frac{1}{\frac{x^2+x+1}{-x-2}}\right)^{\frac{x^2+x+1}{-x-2}\cdot\frac{-x-2}{x^2+x+1}\cdot\frac{x^2+x-5}{2\left(-x-2\right)}}[/dispmath] Zaključno sa [inlmath]\frac{x^2+x+1}{-x-2}[/inlmath] nam je [inlmath]e[/inlmath] i onda nam ostaje rešenje koje sam napomenuo.

Zapravo si dobio:
[dispmath]\lim_{x\to\infty}e^\frac{x^2+x-5}{2\left(x^2+x-1\right)}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+x-5}{2\left(x^2+x-1\right)}}=e^\frac{1}{2}[/dispmath] Naime, granična vrednost "prolazi" kroz neprekidnu funkciju, što znači da može da "uđe" pod koren, "popne" se u eksponent itd.

Da, da, totalno sam zaboravio na taj deo. Hvala!