MATEMANIJA

Zdravo,
Zadatak glasi:
[dispmath]\lim_{x\to0^-}\left(1-\text{tg }x\right)^\frac{\cos x}{x^2}+\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2019\sin x^{100}}{x^{100}}\right)[/dispmath]
Nisam se do sada susretao sa ovim tipom zadatka. Pre svega, ne znam ni kako da započnem zadatak, tj. šta da iskoristim. Kod ovog prvog dela prvo što mi je palo na pamet je da iskoristim pravilo:
[dispmath]\lim_{x\to0}\left(1+x\right)^\frac{1}{x}=e[/dispmath] ali pretpostavljam da to nije moguće jer uz [inlmath]\text{tg }x[/inlmath] stoji [inlmath]-[/inlmath].
Kod drugog dela baš nikakvu ideju nemam šta bih iskoristio, posebno zbog ovih velikih stepena.

Drugi limes je jednostavniji, treba iskoristiti „sendvič“ teoremu i ograničenost sinusa. Kako je [inlmath]\left| \sin x \right| ≤ 1[/inlmath] , to je i:


pa je

Kod prvog limesa treba iskoristiti da je [inlmath]\underset{x \to 0}{\lim} \frac{\text{tg } x}{x} = 1[/inlmath] (na osnovu [inlmath]\underset{x \to 0}{\lim} \frac{\sin x}{x} = 1[/inlmath]). To što je limes količnika jednak 1 možemo tumačiti kao da se funkcija iz brojioca i funkcija iz imenioca „isto ponašaju“ u okolini neke tačke , tj. da jednu funkciju možeš aproksimirati drugom . U ovom slučaju [inlmath]\text{tg } x\sim x[/inlmath], kada [inlmath]x \to 0[/inlmath]. Zato je


Smenom [inlmath]t=-\frac{1}{x}[/inlmath] , to postaje

Preporučujem da pogledaš i "Resavanje limesa sa 1^∞"

Prvi limes može i ovako:
[dispmath]\lim_{x\to0^-}\left(1-\text{tg }x\right)^\frac{\cos x}{x^2}=\lim_{x\to0^-}\left(1-\text{tg }x\right)^{\frac{1}{\text{tg }x}\cdot\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{x}}\;\overset{x=-t}{=\!=\!=}\;\lim_{t\to0^+}\left(1+\text{tg }t\right)^{\frac{1}{\text{tg }t}\cdot\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{1}{t}}=\cdots[/dispmath]