MATEMANIJA

[dispmath]\lim_{x\to0^-}\left(\frac{e^x-e^{\sin x}}{x-\sin x}\right)[/dispmath] Jedina opcija koja mi je pala na pamet je Lopitalovo pravilo, pa sam prvo bio krenuo da odredim prvi izvod brojioca i imenioca.
Izvod brojioca:
[dispmath]\left(e^x-e^{\sin x}\right)'=e^x-\cos xe^{\sin x}[/dispmath] Izvod imenioca:
[dispmath](x-\sin x)'=1-\cos x[/dispmath] Međutim, ako sad pokušamo da ubacimo direktno [inlmath]0[/inlmath] u izraz, dobijamo neodređeni oblik, pa sam ponovo primenio Lopitalovo i odredio drugi izvod i jednog i drugog.
Brojilac:
[dispmath]\left(e^x-\cos xe^{\sin x}\right)'=-\sin xe^{\sin x}+\cos^2xe^{\sin x}[/dispmath] Imenilac:
[dispmath](1-\cos x)'=\sin x[/dispmath]
Opet, ako pokušam da ubacim [inlmath]0[/inlmath] dobijam neodređeni oblik. Dalje nisam pokušavao da primenjujem to pravilo, jer bih sve više i više komplikovao izraz. Da li postoji neka druga/kraća fora da se reši ovaj limes?

Ja bih ovde koristio asimptotiku o kojoj je već bilo reči na Matemaniji. Naime, [inlmath]\sin\frac{1}{n}\sim\frac{1}{n}[/inlmath] akko [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}[/inlmath].
Uzmimo da [inlmath]x[/inlmath] teži [inlmath]0[/inlmath] umesto da [inlmath]n[/inlmath] teži beskonačno. Levi i desni limes su isti, pa pišemo [inlmath]\sin x\sim x[/inlmath].

Acim je napisao:Imenilac:
[dispmath](1-\cos x)'=\sin x[/dispmath]

Eto, da si samo još jednom primenio Lopitala, za imenilac bi dobio [inlmath]\cos x[/inlmath], pa kad u njega uvrstiš nulu, imenilac bi bio različit od nule pa više ne bi imao deljenje nulom. Znači, ipak se može Lopitalom.

Koriguj samo ovaj deo, ovde imaš grešku:

Acim je napisao:Brojilac:
[dispmath]\left(e^x-\cos xe^{\sin x}\right)'=-\sin xe^{\sin x}+\cos^2xe^{\sin x}[/dispmath]

---

Možeš i bez Lopitala, tako što izvučeš [inlmath]e^{\sin x}[/inlmath] ispred brojioca, pa limes postaje
[dispmath]\lim_{x\to0^-}\frac{\cancelto{1}{e^{\sin x}}\left(e^{x-\sin x}-1\right)}{x-\sin x}[/dispmath] Pošto [inlmath]x-\sin x[/inlmath] teži nuli, možemo uvesti smenu [inlmath]x-\sin x=t[/inlmath] gde [inlmath]t\to0[/inlmath], pa se svodi na poznat limes [inlmath]\lim\limits_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=1[/inlmath] (levi i desni limes u nuli su mu jednaki). Ako je potrebno, izvođenje ovog limesa možeš pogledati ovde.

Daniel je napisao:Eto, da si samo još jednom primenio Lopitala, za imenilac bi dobio [inlmath]\cos x[/inlmath], pa kad u njega uvrstiš nulu, imenilac bi bio različit od nule pa više ne bi imao deljenje nulom. Znači, ipak se može Lopitalom.

Zapravo, jesam, ali sam posle dobijao sumnjiv izraz, tipa beskonačno ili slično, ali sad vidim da sam omanuo kod određivanja izvoda.

Daniel je napisao:[dispmath]\lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=1[/dispmath]

Samo me kod ovog dela zanima zbog čega [inlmath]_{t\to0}[/inlmath] a ne [inlmath]0^-[/inlmath] pošto je tako bilo zadano u početnom izrazu?

Evo, da prikažem i ceo postupak preko Lopitala (opet se negde potkrala greška ali ne uočavam gde po običaju );
Kad sam odredio drugi izvod i brojioca i imenioca ostaje mi samo brojilac, tj.:
[dispmath]e^x+\sin xe^{\sin x}-\cos^2xe^{\sin x}[/dispmath] Kada uvrstim direktno [inlmath]0[/inlmath] dobijam [inlmath]0[/inlmath] što je pogrešno.

Acim je napisao:Samo me kod ovog dela zanima zbog čega [inlmath]_{t\to0}[/inlmath] a ne [inlmath]0^-[/inlmath] pošto je tako bilo zadano u početnom izrazu?

Upravo zbog ovog što sam i naveo u zagradi:

Daniel je napisao:pa se svodi na poznat limes [inlmath]\lim\limits_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=1[/inlmath] (levi i desni limes u nuli su mu jednaki).

Acim je napisao:Kad sam odredio drugi izvod i brojioca i imenioca ostaje mi samo brojilac, tj.:
[dispmath]e^x+\sin xe^{\sin x}-\cos^2xe^{\sin x}[/dispmath] Kada uvrstim direktno [inlmath]0[/inlmath] dobijam [inlmath]0[/inlmath] što je pogrešno.

Nije pogrešno, dobro si izračunao ovaj izvod, i kad se uvrsti [inlmath]x=0[/inlmath] dobije se [inlmath]0[/inlmath].
Istovremeno u imeniocu imaš [inlmath]\sin x[/inlmath], što znači da opet imaš deljenje nule nulom.
E, sad primeniš Lopitala još jednom, kao što sam ti i napisao, i tek tada ćeš u brojicu i imeniocu dobiti izraze koji nisu nule.

To je to, hvala.