MATEMANIJA

Poz svima,

Evo zadatka za limese koji me dosta buni:
[dispmath]\lim_{\begin{matrix} x\to\infty,\\[-1cm] y\to\infty \end{matrix}}\frac{3x^{10}+5x^4y^4+3y^{10}}{x^{10}+y^{10}}[/dispmath] Moja nedoumica je kako se ovaj zadatak uopste pocinje. Ova oblast mi je nova. Svestan sam pravila vezanih za neprekidnost, a samo ne znam da li se smeju primeniti u ovom slucaju.

Hvala unapred!

Razlomak možeš rastaviti na sumu dva razlomka, [inlmath]\frac{3x^{10}+3y^{10}}{x^{10}+y^{10}}[/inlmath] i [inlmath]\frac{5x^4y^4}{x^{10}+y^{10}}[/inlmath].
Za prvi je očigledno čemu teži, dok je za drugi lako pokazati da teži nuli tako što mu brojilac i imenilac podeliš sa [inlmath]x^5y^5[/inlmath] i, uz smenu [inlmath]\frac{x^5}{y^5}=t[/inlmath], iskoristi se činjenica da funkcija [inlmath]f(t)=t+\frac{1}{t}[/inlmath] nije manja od [inlmath]2[/inlmath] ni za jedno [inlmath]t\in(0,+\infty)[/inlmath].