MATEMANIJA

Zadatak glasi:
[dispmath]\lim _{n\to \infty }\:n\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt[3]{n^3+n}\right)[/dispmath]
Hteo bih da pitam da li je moj rezultat tačan, pošto rešenje istog nisam našao?
Ovde sam gledao da oduzmem i dodam korene najvećih stepena pod korenima. Kod prvog činioca je to [inlmath]n^2[/inlmath] a kod drugog [inlmath]n^3[/inlmath]. Znači:
[dispmath]\lim _{n\to \infty }\:n\left(\sqrt{n^2+1}-n+n-\sqrt[3]{n^3+n}\right)[/dispmath]
Onda sam razdvojio limese na dva dela:
[inlmath]\lim _{n\to \infty \:}n\left(\sqrt{n^2+1}-n\:\cdot \frac{\sqrt{n^2+1}+n}{\sqrt{n^2+1}+n}\right)[/inlmath] i [inlmath]\lim _{n\to \infty \:}\:n\left(n-\sqrt[3]{n^3+n}\cdot \frac{n^2+n\sqrt[3]{n^3+n}+\sqrt[3]{n^3+n}^2}{n^2+n\sqrt[3]{n^3+n}+\sqrt[3]{n^3+n^2}}\right)[/inlmath]
Kod prvog limesa dobijam [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], a kod drugog [inlmath]-\frac{1}{2}[/inlmath], što za konačno rešenje ima [inlmath]0[/inlmath]

Acim je napisao:[inlmath]\lim _{n\to \infty \:}n\left(\sqrt{n^2+1}-n\:\cdot \frac{\sqrt{n^2+1}+n}{\sqrt{n^2+1}+n}\right)[/inlmath] i [inlmath]\lim _{n\to \infty \:}\:n\left(n-\sqrt[3]{n^3+n}\cdot \frac{n^2+n\sqrt[3]{n^3+n}+\sqrt[3]{n^3+n}^2}{n^2+n\sqrt[3]{n^3+n}+\sqrt[3]{n^3+n^2}}\right)[/inlmath]

Pretpostaviću da prvi limes, ispravno napisan, glasi [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}n\left({\color{red}\Bigl(}\sqrt{n^2+1}-n{\color{red}\Bigr)}\cdot\frac{\sqrt{n^2+1}+n}{\sqrt{n^2+1}+n}\right)[/inlmath], a drugi [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}n\left({\color{red}\Bigl(}n-\sqrt[3]{n^3+n}{\color{red}\Bigr)}\cdot\frac{n^2+n\sqrt[3]{n^3+n}+\sqrt[3]{n^3+n}^2}{n^2+n\sqrt[3]{n^3+n}+\sqrt[3]{n^3+n}^{\color{red}2}}\right)[/inlmath].

Za prvi si ispravno izračunao [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], dok za drugi treba da se dobije [inlmath]-\frac{1}{\color{red}3}[/inlmath], tako da je rešenje zadatka [inlmath]\frac{1}{6}[/inlmath].