MATEMANIJA

Odredi graničnu vrijednost funkcije:
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+x+1}{x^2-x-1}\right)^x[/dispmath] Nemam nikakvu ideju za početak ovog zadatka, pa bi svaka pomoć dobro došla.

Kad god imamo limes stepena gde i izložilac i osnova zavise od promenljive, dobra ideja je da osnovu 'prebacimo' u izložilac. Tako [inlmath]{\left(\frac{x^2+x+1}{x^2-x-1}\right)}^x[/inlmath] možemo da napišemo kao [dispmath]e^{x\ln\left(\frac{x^2+x+1}{x^2-x-1}\right)}.[/dispmath]
Sada je dovoljno naći limes, kad [inlmath]x[/inlmath] teži beskonačnosti, izraza [dispmath]x\ln\left(\frac{x^2+x+1}{x^2-x-1}\right).[/dispmath] Ako napišemo ovaj izraz u obliku [dispmath]\frac{\ln\left(\frac{x^2+x+1}{x^2-x-1}\right)}{\frac 1 x}[/dispmath] tada možemo da primenimo Lopitalovu teoremu. Diferenciranjem imenioca i brojioca dobijamo racionalnu funkciju čiji limes u beskonačnosti se lako određuje i jednak je [inlmath]2[/inlmath]. Prema tome traženi limes je [inlmath]e^2[/inlmath].

Bez Lopitala bi moglo tako da izraz pod limesom svedemo na [inlmath]\left(1+\frac{1}{\text{nešto}}\right)^\text{nešto}[/inlmath], gde to [inlmath]\text{nešto}[/inlmath] teži beskonačnosti, a samim tim ceo izraz teži ka [inlmath]e[/inlmath].
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+x+1}{x^2-x-1}\right)^x=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2x}{x^2-x-1}\right)^x=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{x^2-x-1}{2x}}\right)^x=[/dispmath] a zatim prilagodimo i eksponent,
[dispmath]=\lim_{x\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{\frac{x^2-x-1}{2x}}\right)^\frac{x^2-x-1}{2x}\right]^{\frac{2x}{x^2-x-1}\cdot x}[/dispmath] pa onda izraz unutar uglastih zagrada vidiš čemu teži, a vidiš čemu teži i ono u eksponentu van uglastih zagrada...

Mislim da u brojniku treba stajati [inlmath]2x+2[/inlmath], a ne [inlmath]2x[/inlmath]. Ako stavimo [inlmath]2x[/inlmath] dobije se [inlmath]x^2+x-1[/inlmath] a treba [inlmath]x^2+x+1[/inlmath]

Bravo, eto uočio si grešku. Princip je svakako taj, a i dobije se isti rezultat...