MATEMANIJA

[dispmath]\lim_{x\to 0}\left(1-\frac{7}{x^2}\right)^{x^3}[/dispmath]
Ja sam pokusao logaritmovanjem celog limesa, medjutim dobio sam u jednom trenutku [inlmath]-\infty[/inlmath] kao argumenta [inlmath]\ln[/inlmath]-a.

Jeste, dobije se negativna veličina kao argument logaritma, međutim, to možeš izbeći ako izraz napišeš u obliku
[dispmath]\lim_{x\to 0}\left(1-\frac{7}{x^2}\right)^{x^3}=\lim_{x\to 0}\left[\left(-1\right)\left(\frac{7}{x^2}-1\right)\right]^{x^3}=\lim_{x\to 0}\left[\left(-1\right)^{x^3}\left(\frac{7}{x^2}-1\right)^{x^3}\right]=\lim_{x\to 0}\left(-1\right)^{x^3}\cdot\lim_{x\to 0}\left(\frac{7}{x^2}-1\right)^{x^3}[/dispmath]
[inlmath]\lim\limits_{x\to 0}\left(-1\right)^{x^3}[/inlmath] izračunaš tako što [inlmath]-1[/inlmath] napišeš kao [inlmath]e^{i\pi}[/inlmath], pa će [inlmath]\left(-1\right)^{x^3}[/inlmath] biti [inlmath]e^{i\pi x^3}[/inlmath], tj. [inlmath]\cos\left(\pi x^3\right)+i\sin\left(\pi x^3\right)[/inlmath], a to se lako pokaže da teži jedinici. Prema tome, traženi limes se svodi na
[dispmath]\lim_{x\to 0}\left(\frac{7}{x^2}-1\right)^{x^3}[/dispmath]
pa njega sad možeš da logaritmuješ...
Dobićeš kao rešenje da je limes jednak jedinici.

Mislim da su profesori pogresili kad su ovo dali na ispitu, videcemo kako ce da ocenjuju