MATEMANIJA

Evo jednog limesa, ako ga netko može riješiti bez i sa L'H pravila.
[dispmath]\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(1-\cos x)}{3x^4}[/dispmath]

Evo bez l'Hopitala:
[dispmath]\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos\left(1-\cos x\right)}{3x^4}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos\left(2\sin^2\frac{x}{2}\right)}{3x^4}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)}{3x^4}=[/dispmath]
[dispmath]=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)}{\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)^2}\cdot\frac{\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)^2}{3x^4}=\frac{2}{3}\lim_{x\to 0}\left[\frac{\sin\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)}{\sin^2\frac{x}{2}}\right]^2\cdot\frac{\sin^4\frac{x}{2}}{x^4}=\frac{2}{3}\cdot 1^2\lim_{x\to 0}\frac{\sin^4\frac{x}{2}}{x^4}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{2}{3}\lim_{x\to 0}\frac{\sin^4\frac{x}{2}}{16\left(\frac{x}{2}\right)^4}=\frac{1}{24}\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^4=\frac{1}{24}[/dispmath]
Što se l'Hopital-a tiče, to ne bi trebalo da bude problem, tu već imaš jasna pravila. Možeš li napisati di je tačno zapelo?

Zanima me četvrti limes u prvom redu, kako smo dobili [inlmath]\sin^2[/inlmath]? I dvojka ispred toga?

Nisam još probao L'H, nakon što ovo shvatim ću i to napraviti.

Na osnovu formule za sinus polovine ugla:
[dispmath]\sin\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}[/dispmath]
iz koje sledi
[dispmath]1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}[/dispmath]

Da, ali zašto se iz argumenta kosinusa izgubila dvojka?

Baš zbog te formule.
[dispmath]1-\cos t=2\sin^2\frac{t}{2}[/dispmath]
Stavi da je [inlmath]t=2\sin^2\frac{x}{2}[/inlmath]
Dobijaš upravo to.

Argument kod ovog sinusa je duplo manji, zato se dvojka gubi...

Aha, shvatio sam.

Što se tiče L'H, da li da isto ubacujem formule za funkcije polovičnih argumenata ili je bolje bez toga, nego samo derivirati dok se to može i dok ne dobijem rješenje?

Ako se traži preko l'Hopital-a, onda kontam da ne treba primenjivati ništa drugo osim l'Hopital-a. Eventualno, neka uprošćavanja izraza između pojedinih primena l'Hopitala, kojih će u ovom zadataku biti ukupno 4, budući da u imeniocu imamo četvrti stepen [inlmath]x[/inlmath].

Gdje griješim?
[dispmath]\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(1-\cos x)}{3x^4}=\left[\frac{0}{0}\right]^{L'H}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(1-\cos x)\sin x}{12x^3}=\frac{1}{12}\lim_{x\to 0}\frac{\sin(1-\cos x)\sin x}{x^3}=[/dispmath]
[dispmath]=\left[\frac{0}{0}\right]^{L'H}=\frac{1}{12}\lim_{x\to 0}\frac{\cos(1-\cos x)\sin^2x+\cos x\sin(1-\cos x)}{3x^2}\cdots[/dispmath]

Nigde.

Na dobrom si putu.