MATEMANIJA

Evo jednog limesa, ako ga netko može riješiti bez i sa L'H pravila.
[dispmath]\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(1-\cos x)}{3x^4}[/dispmath]

Evo bez l'Hopitala:
[dispmath]\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos\left(1-\cos x\right)}{3x^4}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos\left(2\sin^2\frac{x}{2}\right)}{3x^4}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)}{3x^4}=[/dispmath]
[dispmath]=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)}{\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)^2}\cdot\frac{\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)^2}{3x^4}=\frac{2}{3}\lim_{x\to 0}\left[\frac{\sin\left(\sin^2\frac{x}{2}\right)}{\sin^2\frac{x}{2}}\right]^2\cdot\frac{\sin^4\frac{x}{2}}{x^4}=\frac{2}{3}\cdot 1^2\lim_{x\to 0}\frac{\sin^4\frac{x}{2}}{x^4}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{2}{3}\lim_{x\to 0}\frac{\sin^4\frac{x}{2}}{16\left(\frac{x}{2}\right)^4}=\frac{1}{24}\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^4=\frac{1}{24}[/dispmath]
Što se l'Hopital-a tiče, to ne bi trebalo da bude problem, tu već imaš jasna pravila. Možeš li napisati di je tačno zapelo?

Zanima me četvrti limes u prvom redu, kako smo dobili [inlmath]\sin^2[/inlmath]? I dvojka ispred toga?

Nisam još probao L'H, nakon što ovo shvatim ću i to napraviti.

Na osnovu formule za sinus polovine ugla:
[dispmath]\sin\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}[/dispmath]
iz koje sledi
[dispmath]1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}[/dispmath]

Da, ali zašto se iz argumenta kosinusa izgubila dvojka?

Baš zbog te formule.
[dispmath]1-\cos t=2\sin^2\frac{t}{2}[/dispmath]
Stavi da je [inlmath]t=2\sin^2\frac{x}{2}[/inlmath]
Dobijaš upravo to.

Argument kod ovog sinusa je duplo manji, zato se dvojka gubi...

Aha, shvatio sam.

Što se tiče L'H, da li da isto ubacujem formule za funkcije polovičnih argumenata ili je bolje bez toga, nego samo derivirati dok se to može i dok ne dobijem rješenje?

Ako se traži preko l'Hopital-a, onda kontam da ne treba primenjivati ništa drugo osim l'Hopital-a. Eventualno, neka uprošćavanja izraza između pojedinih primena l'Hopitala, kojih će u ovom zadataku biti ukupno 4, budući da u imeniocu imamo četvrti stepen [inlmath]x[/inlmath].

Gdje griješim?
[dispmath]\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(1-\cos x)}{3x^4}=\left[\frac{0}{0}\right]^{L'H}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(1-\cos x)\sin x}{12x^3}=\frac{1}{12}\lim_{x\to 0}\frac{\sin(1-\cos x)\sin x}{x^3}=[/dispmath]
[dispmath]=\left[\frac{0}{0}\right]^{L'H}=\frac{1}{12}\lim_{x\to 0}\frac{\cos(1-\cos x)\sin^2x+\cos x\sin(1-\cos x)}{3x^2}\cdots[/dispmath]

Nigde.

Na dobrom si putu.

E, a što da radim s ovim brojnikom na kraju? Da opet deriviram i brojnik i nazivnik ili? To sam već radio pa sam se totalno bio izgubio ;D

Da, kao što sam ti i napisao, moraš derivirati sve dok i u brojiocu i u imeniocu imaš izraze koji teže nuli. U ovom zadatku, ne gine ti ukupno četiri primene l'Hôpital-a.

OMG, na što će to ličiti

Ništa, pokušat ću pa javim kad napravim

Pa, znam, ispašće od toga solidna „kobasica“...

Mada, i ovo je luk & voda kad se samo setim onog zadatka sa skiciranjem u kompleksnoj ravni...

U jednom trenutku mi se ispred limesa pojavi[inlmath]\frac{1}{108}[/inlmath] a nakon limesa ostane [inlmath]4[/inlmath], što ipak nije točno rješenje... Sumnjam da će doći ovakav zadatak, gdje ti umjesto da pomogne i skrati muku, L'H oteža...

E, pa ne bi trebalo, meni se [inlmath]\frac{1}{108}[/inlmath] nigde ne pojavljuje...

Istina, u imeniocu mi figuriše [inlmath]72[/inlmath] a u brojiocu [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath]... Da nisi ti, greškom, [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath] iz brojioca prebacio u imenilac pa ti je on, pomnožen sa [inlmath]72[/inlmath], dao [inlmath]108[/inlmath]?