MATEMANIJA

Zadatak glasi:

Izračunajte sljedeći limes bez korištenja L'H pravila:
[dispmath]\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(\cos x+\sin 5x)^{\mathrm{tg}\:x}[/dispmath]
Da ne pišem sve, to se svodi na onaj izraz koji daje [inlmath]e[/inlmath]... Nakon što se sredi, ostalo mi je
---
[dispmath]\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}e^{\mathrm{tg}\:x(\cos x+\sin 5x-1)}[/dispmath]
Nakon ovoga sam [inlmath]\mathrm{tg}\:x[/inlmath] napisao kao [inlmath]\frac{\sin x}{\cos x}[/inlmath]. U brojniku sam sinus izmnožio sa članovima unutar zagrade, te sam potom, opet iz brojnika, izlučio [inlmath]\cos x[/inlmath] kako bih mogao kratiti sa nazivnikom.

Ostat će
[dispmath]\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\sin x+\frac{\sin 5x\sin x}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}[/dispmath]
Kada tu uvrstim [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] dobijem [inlmath]1+\infty-\infty[/inlmath] što kao rješenje daje [inlmath]1[/inlmath], odnosno konačno [inlmath]e^1=e[/inlmath]. Je li ovaj postupak ispravan?

Razlika beskonačnosti nije definisana.

Znači ovo moje valja?

Ne, nego upravo znači da ne valja. Ne možeš pisati [inlmath]\infty-\infty[/inlmath], jer to ne znači ništa.

Postupak ne, mada je konačan rezultat tačan.

Onda kako rješiti ovaj limes, a da se ne koristi L'H ? meni stvarno ne pada na pamet

[dispmath]\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(\sin x+\frac{\sin 5x\sin x}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}\right)=1+\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left[\frac{\sin\left(4x+x\right)\sin x}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}\right]=[/dispmath]
[dispmath]=1+\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\sin x\left(\sin 4x\cos x+\cos 4x\sin x\right)-\sin x}{\cos x}=1+\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(\sin x\sin 4x+\frac{\sin^2 x\cos 4x-\sin x}{\cos x}\right)=[/dispmath]
[dispmath]=1+1\cdot 0+\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2 x\cos 4x-\sin x}{\cos x}=1+\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2 x\cos^2 2x-\sin^2 x\sin^2 2x-\sin x}{\cos x}=[/dispmath]
[dispmath]=1+\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2 x\left(\cos^2 x-\sin^2 x\right)^2-\sin^2 x\left(2\sin x\cos x\right)^2-\sin x}{\cos x}=[/dispmath]
[dispmath]=1+\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2 x\cos^4 x-2\sin^4 x\cos^2 x+\sin^6 x-4\sin^4 x\cos^2 x-\sin x}{\cos x}=[/dispmath]
[dispmath]=1+\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(\sin^2 x\cos^3 x-2\sin^4 x\cos x-4\sin^4 x\cos x+\frac{\sin^6 x-\sin x}{\cos x}\right)=1+\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^6 x-\sin x}{\cos x}=[/dispmath]
[dispmath]=1+\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\left(1-\cos^2 x\right)^3-\sin x}{\cos x}=1+\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-3\cos^2 x+3\cos^4 x-\cos^6 x-\sin x}{\cos x}=[/dispmath]
[dispmath]=1+\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1-\sin x}{\cos x}-3\cos x+3\cos^3 x-\cos^5 x\right)=1+\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin x}{\cos x}=[/dispmath]
[dispmath]=1+\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\left(1-\sin x\right)\left(1+\sin x\right)}{\cos x\left(1+\sin x\right)}=1+\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin^2 x}{\cos x\left(1+\sin x\right)}=[/dispmath]
[dispmath]=1+\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos^2 x}{\cos x\left(1+\sin x\right)}=1+\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{1+\sin x}=1+\frac{0}{2}=1[/dispmath]
[dispmath]\Rightarrow\quad\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}e^{\sin x+\frac{\sin 5x\sin x}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}}=e^1=e[/dispmath]