MATEMANIJA

Novi sam, pozdrav za sve forumase ovog zaista predivnog foruma

Jedan zanimljiv limes niza, bio bih zahvalan za bilo kakve smjernica ka rjesavanju ovog macana
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{n\sqrt[n]n+2^\frac{2n+1}{2}}{2^n-\sqrt[n]{\frac{2}{n}}}[/dispmath]

Pozdrav, novi, i hvala na lepim rečima za forum. Eto, trudimo se.
Prekucao sam ti zadatak koji si okačio, jer, prema pravilima, zadatke ne kačimo kao slike, već ih kucamo u Latex-u...

Što se tiče zadatka: treba uočiti koji od tih sabiraka, kad [inlmath]n\to\infty[/inlmath], najbrže teži beskonačnosti, pa onda podeliti i brojilac i imenilac tim sabirkom, kako bismo svuda dobili nove sabirke koji će, ili težiti konačnoj vrednosti, ili težiti nuli.
Ovde uočavamo da beskonačnosti najbrže teže sabirci [inlmath]2^\frac{2n+1}{2}[/inlmath] i [inlmath]2^n[/inlmath], zbog toga što se kod njih [inlmath]n[/inlmath] nalazi u eksponentu, a znamo da eksponencijalna funkcija brže teži beskonačnosti od stepene funkcije: [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^a}{b^n}=0,\;a,b\in\mathbb{R},\;b>1[/inlmath]

Recimo da smo i brojilac i imenilac podelili sa [inlmath]2^n[/inlmath]. Posle malo sređivanja, dobićemo:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n}{2^n}\sqrt[n]n+\sqrt 2}{1-\frac{1}{2^{n-\frac{1}{n}}}\cdot\frac{1}{\sqrt[n]n}}[/dispmath]
Sabirak [inlmath]\frac{n}{2^n}\sqrt[n]n[/inlmath]: pošto [inlmath]\frac{n}{2^n}\to 0[/inlmath], a [inlmath]\sqrt[n]n\to 1[/inlmath], njihov proizvod teži nuli;
Sabirak [inlmath]\frac{1}{2^{n-\frac{1}{n}}}\cdot\frac{1}{\sqrt[n]n}[/inlmath]: pošto [inlmath]\sqrt[n]n\to 1[/inlmath], samim tim i [inlmath]\frac{1}{\sqrt[n]n}\to 1[/inlmath]; pošto [inlmath]n-\frac{1}{n}\to\infty[/inlmath], samim tim i [inlmath]2^{n-\frac{1}{n}}\to\infty[/inlmath], pa [inlmath]\frac{1}{2^{n-\frac{1}{n}}}\to 0[/inlmath]; prema tome, i taj sabirak teži nuli.

Dakle, ovaj limes se svodi na [inlmath]\frac{0+\sqrt 2}{1-0}[/inlmath], a to je jednako [inlmath]\sqrt 2[/inlmath].

Zahvaljujem se na izdvojenom vremenu, a zadatak sam u brzini htio postaviti pa nisam ni obracao paznju da je latex u upotrebi ...

E sad sta mene interesuje je to da sam ja prema ovome zadatak poodavno rijesio samo me mucilo to da izraz [inlmath]\sqrt[n]n[/inlmath] je neodredjeni oblik [inlmath]\infty^0[/inlmath] ?

Da, [inlmath]\sqrt[n]n[/inlmath] jeste oblika [inlmath]\infty^0[/inlmath] kad [inlmath]n\to\infty[/inlmath], međutim, [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]n[/inlmath] spada u poznate limese i za njega se zna da je jednak [inlmath]1[/inlmath]. A dokaz bi izgledao ovako:
[dispmath]n=\left(\sqrt[n]n\right)^n=\left[1+\left(\sqrt[n]n-1\right)\right]^n=[/dispmath]
Primenimo formulu za razvoj stepena binoma...
[dispmath]=1+{n\choose 1}\left(\sqrt[n]n-1\right)+{n\choose 2}\left(\sqrt[n]n-1\right)^2+\cdots +{n\choose n}\left(\sqrt[n]n-1\right)^n>{n\choose 2}\left(\sqrt[n]n-1\right)^2[/dispmath]
Dakle,
[dispmath]{n\choose 2}\left(\sqrt[n]n-1\right)^2<n[/dispmath]
Takođe, za [inlmath]n>1[/inlmath] važi da je [inlmath]\sqrt[n]n>1\;\Rightarrow\;\sqrt[n]n-1>0\;\Rightarrow\;\left(\sqrt[n]n-1\right)^2>0[/inlmath], a pošto je i [inlmath]{n\choose 2}>0[/inlmath], sledi da je i [inlmath]{n\choose 2}\left(\sqrt[n]n-1\right)^2>0[/inlmath]:
[dispmath]0<{n\choose 2}\left(\sqrt[n]n-1\right)^2<n[/dispmath][dispmath]0<\frac{n\left(n-1\right)}{2}\left(\sqrt[n]n-1\right)^2<n[/dispmath]
Sve podelimo sa [inlmath]n\left(n-1\right)[/inlmath] i pomnožimo sa [inlmath]2[/inlmath]:
[dispmath]0<\left(\sqrt[n]n-1\right)^2<\frac{2}{n-1}[/dispmath]
Korenujemo:
[dispmath]0<\sqrt{\left(\sqrt[n]n-1\right)^2}<\sqrt{\frac{2}{n-1}}[/dispmath][dispmath]0<\left|\sqrt[n]n-1\right|<\sqrt{\frac{2}{n-1}}[/dispmath]
Pošto je [inlmath]\sqrt[n]n-1>0[/inlmath] za [inlmath]n>1[/inlmath], tada je [inlmath]\left|\sqrt[n]n-1\right|=\sqrt[n]n-1[/inlmath]:
[dispmath]0<\sqrt[n]n-1<\sqrt{\frac{2}{n-1}}[/dispmath]
Odavde vidimo da će se, kada [inlmath]n\to\infty[/inlmath], izraz [inlmath]\sqrt[n]n-1[/inlmath] naći u „sendviču“ između dve vrednosti od kojih je jedna nula, a druga teži nuli. Prema tome, zaključujemo da i [inlmath]\sqrt[n]n-1\to 0[/inlmath], tj. [inlmath]\sqrt[n]n\to 1[/inlmath]:
[dispmath]\enclose{box}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]n=1}[/dispmath]
Zapravo, kao što si i sâm primetio, samo kad se zna ovaj limes, tada je zadatak koji si postavio vrllo jednostavno rešiti.

Sendvic teorema da da, o tome se radi, sjecam se sa predavanja ... moram te "malo" poznate tablicne limese pohvatati i proraditi im dokaze, malo pomalo pa mi novi "poznati" tablicni iskoci kao u ovom slucaju

Zahvaljujem se na iscrpnom odgovoru

Imam jedan zadatak koji sam pokusao da resim i znam da je rezultat nula, ali ne mogu da dokazem to. Znam da ste u guzvi, pa kada budete mogli bio bih vam najlepse zahvalan. Evo zadatka:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1\cdot 2\cdot 3\cdots n)}{(n+1)^2}[/dispmath]
Znam da je ovo u brojiocu faktorijel, ali ne znam kako da skratim sa imeniocem ili kako da odradim prvi izvod od faktorijela - mada verovatno ne treba to da se radi ali ne znam drugacije. Hvala vam puno i eto punu podrsku imate sa moje strane - znam koliko je tesko stici na sve strane i svima pomoci, hvala vam u ime svih kojima pomazete, pa izmedju ostalog, i u moje ime.

Primeni Štolcovu teoremu.

A jel bi moglo ovako nesto ili mora preko Stolca:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1\cdot 2\cdot 3\cdots n)}{(n+1)^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n!)}{n^2+2n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{\ln(n!)}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}=\frac{0}{1+0+0}=0[/dispmath]

Može i tako, ako znaš kako da dokažeš da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln(n!)}{n^2}=0[/inlmath], a da taj dokaz ne ide preko Štolca.