Pozdrav svima,

nedavno sam naišla na neke zadatke sa izvodima složenih funkcija koji su me poprilično zbunili. Ne mogu da shvatim kako se radi izvod, npr. funkcije [inlmath]x^{\ln x}[/inlmath] ili [inlmath]x^{\sin x}[/inlmath]. To jest, u uopštenom obliku [inlmath]f(x)^{g(x)}[/inlmath], je li tako?

Primjenom uobičajenog pravila izvođenja složenih funkcija, kao i pravila o izvođenju stepene funkcije, ja dobijem sljedeće:
[dispmath]\left(x^{\ln x}\right)'=\ln x\cdot x^{\ln x-1}\cdot (x)'=\ln x\cdot x^{\ln x-1}[/dispmath]
Međutim, na online kalkulatorima izvoda, rješenja se ne poklapaju sa mojim. Tamo je:
[dispmath]\left(x^{\ln x}\right)'=\ln x\cdot 2x^{\ln x-1}[/dispmath]
Slično se dešava i kada je [inlmath]\sin x[/inlmath] umjesto [inlmath]\ln x[/inlmath].

Na ovom sajtu (http://www.derivative-calculator.net/) ako ukucate funkciju imate korak po korak, ne znam sve prepisati u LaTex-u. Ne razumijem otkud im odjednom [inlmath]\ln x\cdot\ln x[/inlmath].

Hvala unaprijed!

Izvod od [inlmath]f\left(x\right)^{g\left(x\right)}[/inlmath] ne tražimo kao izvod složene funkcije. To je funkcija stepenovana drugom funkcijom. Isto kao što ni zbir funkcija [inlmath]f\left(x\right)+g\left(x\right)[/inlmath], a ni proizvod funkcija [inlmath]f\left(x\right)g\left(x\right)[/inlmath], ne bismo prilikom traženja izvoda posmatrali kao složenu funkciju.
Složena funkcija je ona kod koje se jedna funkcija nalazi u argumentu druge, tj. [inlmath]f\left(g\left(x\right)\right)[/inlmath]. Primeri takvih funkcija bile bi, recimo, [inlmath]e^{\sin x}[/inlmath], [inlmath]\ln\sin x[/inlmath], [inlmath]\sin^2x[/inlmath] itd.

Izvod funkcije [inlmath]x^{\ln x}[/inlmath] nalaziš tako što prvo tu funkciju zapisuješ u obliku pogodnijem za traženje izvoda, primenjujući sledeću formulu:
[dispmath]x=e^{\ln x}[/dispmath]
U prethodnu formulu umesto [inlmath]x[/inlmath] uvrstiš datu funkciju i dobijaš:
[dispmath]x^{\ln x}=e^{\ln x^{\ln x}}=[/dispmath]
zatim iskoristiš osobinu logaritma da je [inlmath]\ln a^b=b\ln a[/inlmath], pa eksponent [inlmath]\ln x^{\ln x}[/inlmath] zapišeš kao [inlmath]\ln x\ln x[/inlmath]:
[dispmath]=e^{\ln x\ln x}=e^{\ln^2x}[/dispmath]
i to sad jeste složena funkcija, pa izvod tražiš primenjujući pravila izvoda složene funkcije.

Slično i za [inlmath]x^{\sin x}[/inlmath].

Aha, hvala puno.

A to pravilo sa [inlmath]e[/inlmath], dosada nisam nailazila na njega. Da li je to dio nekih opštih pravila, koja su ne znam kako, meni promakla?

Da, jedno od opštih pravila, moraš to znati napamet. Pročitaj ovu temu, poslednje poglavlje (Logaritmi) – to ti je osobina pod brojem 10.