MATEMANIJA

Gledao sam na forumu izgleda da niko još nije otvorio ovu temu.Izvodi ovih običnih funkcija su mi jasni. Ali izvodi složene i inverzne funkcije me zbunjuju.Tražio sam ja i dokaze i objašnjenja ali sve je to slabo i nepotpuno.Da krenemo ispočetka zbunjuje me dosta stvari.
Kao prvo šta je to složena funkcija? Koliko sam ja to shvatio to je elementarna funkcija koja ima neki dodatak uz sebe npr [inlmath]\sin 3x[/inlmath] i [inlmath]3\sin x[/inlmath] a nesložena funckija je [inlmath]\sin x[/inlmath].
Da li je izvod složene funkcije poznat kao "Chain Rule"?
Koliko sam ja shvatio složena funkcija mora da se radi preko kompozicije funkcije?
Tražio sam izvođenja za izvod složene funkcije i došao sam do ovoga što mi nije jasno
[dispmath](f\circ g)'_{(a)}=f'(g(a))\cdot g'(a)[/dispmath]
[dispmath](f\circ g)'_{(a)}=\lim_{h\to 0}\frac{f(g(a)+\Delta h)-f(g(a))}{\Delta h}\cdot\frac{\Delta h}{h}[/dispmath][dispmath](f\circ g)'_{(a)}=\lim_{ h\to 0}\frac{f(g(a)+\Delta h)-f(g(a))}{\Delta h}\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\Delta h}{h}[/dispmath][dispmath](f\circ g)'_{(a)}=\lim_{ h\to 0}\frac{f(g(a)+\Delta h)-f(g(a))}{\Delta h}\cdot\lim_{h\to 0}\frac{g(a+h)-g(a)}{h}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{(f\circ g)'_{(a)}=f'(g(a))\cdot g'(a)}[/dispmath]
Kod ovoga izvođenja mi nije jasno kako odjednom ubaci [inlmath]\frac{\Delta h}{h}[/inlmath] i otkud [inlmath]h[/inlmath] u ovome svemu?

Najbolje bi bilo ako neko može da na svoj način objasni kako se vadi izvod iz složene funkcije i kaže valja li išta ovo što sam ja radio..
O izvodu inverzne funkcije ćemo poslije dok završimo ovo.

Izveo sam ovo na jedan drugačiji način.Tako da ovo gore nije mi sada ni bitno.Ali ipak bih htio da čujem nečije mišljenje o ovome.

Gamma je napisao:Kao prvo šta je to složena funkcija? Koliko sam ja to shvatio to je elementarna funkcija koja ima neki dodatak uz sebe npr [inlmath]\sin 3x[/inlmath] i [inlmath]3\sin x[/inlmath] a nesložena funckija je [inlmath]\sin x[/inlmath].

Definicija složene funkcije [inlmath]h[/inlmath] glasi: ako postoji funkcija [inlmath]f:\:A\to B[/inlmath] i funkcija [inlmath]g:\:B\to C[/inlmath], tada funkcija [inlmath]h:\:A\to C[/inlmath] za koju važi [inlmath]h\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)[/inlmath] za svako [inlmath]x\in A[/inlmath] predstavlja složenu funkciju, dobijenu kompozicijom funkcija [inlmath]f[/inlmath] i [inlmath]g[/inlmath].

Ako tu definiciju primenimo na tvoje primere,
[dispmath]h\left(x\right)=\sin 3x:\quad f\left(x\right)=3x,\;g\left(x\right)=\sin x\quad\Rightarrow\quad h\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(3x\right)=\sin 3x[/dispmath][dispmath]h\left(x\right)=3\sin x:\quad f\left(x\right)=\sin x,\;g\left(x\right)=3x\quad\Rightarrow\quad h\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(\sin x\right)=3\sin x[/dispmath]
Striktno gledano, iz prethodne definicije bi sledilo da svaka funkcija može da se posmatra kao složena, ako se uzme da je [inlmath]f\left(x\right)=x[/inlmath] i [inlmath]g\left(x\right)=h\left(x\right)[/inlmath] (ili obratno, da je [inlmath]f\left(x\right)=h\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]g\left(x\right)=x[/inlmath]):
[dispmath]h\left(x\right)=\sin x:\quad f\left(x\right)=x,\;g\left(x\right)=\sin x\quad\Rightarrow\quad h\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(x\right)=\sin x[/dispmath]
ili
[dispmath]h\left(x\right)=\sin x:\quad f\left(x\right)=\sin x,\;g\left(x\right)=x\quad\Rightarrow\quad h\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(\sin x\right)=\sin x[/dispmath]
ali to bi, naravno, bilo nepotrebno komplikovanje.

Gamma je napisao:Da li je izvod složene funkcije poznat kao "Chain Rule"?

Da.

Gamma je napisao:Tražio sam izvođenja za izvod složene funkcije i došao sam do ovoga što mi nije jasno
[dispmath](f\circ g)'_{(a)}=f'(g(a))\cdot g'(a)[/dispmath]
[dispmath](f\circ g)'_{(a)}=\lim_{h\to 0}\frac{f(g(a)+\Delta h)-f(g(a))}{\Delta h}\cdot\frac{\Delta h}{h}[/dispmath][dispmath](f\circ g)'_{(a)}=\lim_{ h\to 0}\frac{f(g(a)+\Delta h)-f(g(a))}{\Delta h}\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\Delta h}{h}[/dispmath][dispmath](f\circ g)'_{(a)}=\lim_{ h\to 0}\frac{f(g(a)+\Delta h)-f(g(a))}{\Delta h}\cdot\lim_{h\to 0}\frac{g(a+h)-g(a)}{h}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{(f\circ g)'_{(a)}=f'(g(a))\cdot g'(a)}[/dispmath]
Kod ovoga izvođenja mi nije jasno kako odjednom ubaci [inlmath]\frac{\Delta h}{h}[/inlmath] i otkud [inlmath]h[/inlmath] u ovome svemu?

Zapravo se [inlmath]\left(f\circ g\right)'_{\left(a\right)}[/inlmath] traži kao
[dispmath]\left(f\circ g\right)'_{\left(a\right)}=\left(f\left(g\left(a\right)\right)\right)'_{\left(a\right)}=\lim_{h\to 0}\frac{f\left(g\left(a+h\right)\right)-f\left(g\left(a\right)\right)}{h}[/dispmath]
a oni su još u prvom koraku sa [inlmath]\Delta h[/inlmath] označili priraštaj funkcije [inlmath]g[/inlmath], tj. [inlmath]g\left(a+h\right)=g\left(a\right)+\Delta h[/inlmath], pa su tako dobili
[dispmath]\left(f\circ g\right)'_{\left(a\right)}=\lim_{h\to 0}\frac{f\left(g\left(a\right)+\Delta h\right)-f\left(g\left(a\right)\right)}{h}[/dispmath]
i onda kad su taj razlomak pomnožili sa [inlmath]\frac{\Delta h}{\Delta h}[/inlmath], došli su do izraza u prvom koraku,
[dispmath]\left(f\circ g\right)'_{\left(a\right)}=\lim_{h\to 0}\frac{f\left(g\left(a\right)+\Delta h\right)-f\left(g\left(a\right)\right)}{\Delta h}\cdot\frac{\Delta h}{h}[/dispmath]
i, kad to znaš, mislim da ti je lako da onda do kraja ispratiš taj postupak...

Sada mi je i ovaj način jasan

Evo malo da se vratim na ovu temu. Sa izvodom složene funkcije smo završili davno.Tek sada smo počeli izvod inverzne funkcije da radimo.Sva priča izvoda inverzne funkcije se svodi na ovu teoremu [inlmath]\left(f^{-1}(y_0)\right)'=\frac{1}{f'(x_0)}[/inlmath].Dokazivo sam ovu teoremu,dokazivanje je kartko ali još mi je ostalo nekako nejasno(nerastumačeno).Koliko znam funkcija mora biti bijektvina da bi se moga naći inverzna funkcija od nje.Znači bukvalno kada se uradi inverzna funkcija domen i kotdomen se zamjenu.I nekako ovaj oblik mi je neobičan [inlmath]f^{-1}(y)[/inlmath] rjetko se koristi,kada sam god radio inverznu funkciju uvijek je pisalo [inlmath]f^{-1}(x)[/inlmath].Izgleda da nije bez razloga stavljeno [inlmath]y[/inlmath] jer kada rješavam zadatke samo dobijem tačno rješenje koroz taj prvi oblik.Evo ja sam ovu teoremu dokazivo ovako pa ako neko može da pogleda i ukaže na greške i kaže svoje mišljenje (kako bi on radio).
[dispmath]f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}[/dispmath][dispmath]f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/dispmath][dispmath]\left(f^{-1}(y_0)\right)'=\lim_{x\to x_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}[/dispmath][dispmath]\left(f^{-1}(y_0)\right)'=\lim_{x\to x_0}\frac{1}{\frac{y-y_0}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}}[/dispmath][dispmath]\left(f^{-1}(y_0)\right)'=\lim_{x\to x_0}\frac{1}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{\left(f^{-1}(y_0)\right)'=\frac{1}{f'(x_0)}}[/dispmath]

Gamma je napisao:Koliko znam funkcija mora biti bijektvina da bi se moga naći inverzna funkcija od nje.

Gamma je napisao:Znači bukvalno kada se uradi inverzna funkcija domen i kotdomen se zamjenu.

Zapravo, ne zamenu se, nego se zamene.

Gamma je napisao:I nekako ovaj oblik mi je neobičan [inlmath]f^{-1}(y)[/inlmath] rjetko se koristi,kada sam god radio inverznu funkciju uvijek je pisalo [inlmath]f^{-1}(x)[/inlmath].Izgleda da nije bez razloga stavljeno [inlmath]y[/inlmath] jer kada rješavam zadatke samo dobijem tačno rješenje koroz taj prvi oblik.

Ovo [inlmath]y[/inlmath] ti je vrednost u koju funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] preslikava vrednost [inlmath]x[/inlmath]. Dakle, [inlmath]y=f\left(x\right)[/inlmath]. Isto tako, [inlmath]f^{-1}\left(y\right)=x[/inlmath]. Promenljive [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] su međusobno zavisne, pa kao što [inlmath]f'\left(x\right)[/inlmath] prestavlja izvod promenljive [inlmath]y[/inlmath] po promenljivoj [inlmath]x[/inlmath], tako isto i [inlmath]\left(f^{-1}\left(y\right)\right)'[/inlmath] predstavlja izvod promenljive [inlmath]x[/inlmath] po promeljvoj [inlmath]y[/inlmath].

Gamma je napisao:Evo ja sam ovu teoremu dokazivo ovako pa ako neko može da pogleda i ukaže na greške i kaže svoje mišljenje (kako bi on radio).
[dispmath]\vdots[/dispmath]

Postupak dokazivanja ti je OK, s tim što bi umesto

Gamma je napisao:[dispmath]\left(f^{-1}(y_0)\right)'=\lim_{\color{red}x\to x_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}[/dispmath][dispmath]\left(f^{-1}(y_0)\right)'=\lim_{\color{red}x\to x_0}\frac{1}{\frac{y-y_0}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}}[/dispmath]

trebalo da staviš
[dispmath]\left(f^{-1}(y_0)\right)'=\lim_{\color{red}y\to y_0}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}[/dispmath][dispmath]\left(f^{-1}(y_0)\right)'=\lim_{\color{red}y\to y_0}\frac{1}{\frac{y-y_0}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}}[/dispmath]
budući da u izrazima na koje se limes odnosi nigde nemaš ni [inlmath]x[/inlmath] ni [inlmath]x_0[/inlmath], već imaš [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]y_0[/inlmath]. Zatim u narednom koraku naglasiš da, kada [inlmath]y\to y_0[/inlmath], tada i [inlmath]x\to x_0[/inlmath], pa će onda naredni korak glasiti, kako si i napisao,
[dispmath]\left(f^{-1}(y_0)\right)'=\lim_{x\to x_0}\frac{1}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}[/dispmath]
I, ne bi bilo zgoreg da pre poslednjeg reda ubaciš i korak
[dispmath]\left(f^{-1}(y_0)\right)'=\frac{1}{\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}[/dispmath]
(prelazak limesa u imenilac), čisto da ne bi mogli da ti kažu kako si neki korak preskočio.

Daniel je napisao:Zatim u narednom koraku naglasiš da, kada [inlmath]y\to y_0[/inlmath], tada i [inlmath]x\to x_0[/inlmath], pa će onda naredni korak glasiti, kako si i napisao,

To sam mislio odmah,samo nisam napiso nigdje taj korak.Ali jasno mi je sve sada.