MATEMANIJA

Zadatak glasi:

Neka je [inlmath]f[/inlmath] diferencijabilna funkcija na [inlmath][0,1][/inlmath] pri cemu je [inlmath]f'(0)=1[/inlmath] i [inlmath]f'(1)=0[/inlmath]. Dokazati da postoji [inlmath]c[/inlmath] koje pripada [inlmath][0,1][/inlmath] takvo da je [inlmath]f'(c)=f(c)[/inlmath].

Jos ovaj zadatak mi nije jasan. Pretpostavljam da se treba koristiti Lagranzova teorema,ali ne znam kako. Hvala na odgovoru na prethodni zadatak,puno ste pomogli,i izvinjavam se zbog dvije brze teme i toga sto jos ucim da pisem u latexu.

Da li si ispravno napisao ceo zadatak?
Ovako formulisano tvrđenje nije tačno. Evo kontraprimera: [inlmath]f(x)=-\frac{1}{2}x^2+x-1[/inlmath]. Funkcija zadovoljava uslove tvrđenja, ali ni za jedan broj iz intervala [inlmath]\left[0,1\right][/inlmath] ova funkcija i njen izvod nemaju istu vrednost. Evo još jednog primera (mada i jedan je sasvim dovoljan): [inlmath]f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+x-1[/inlmath]

U pravu ste,izvinjavam se. Zadnji uslov je [inlmath]f'(c)=c[/inlmath]. :/

Ponovo nešto nije ispravno. Kao što rekoh, ne mora biti ispunjen uslov [inlmath]f'(c)=f(c)[/inlmath], a kamoli [inlmath]c=f'(c)=f(c)[/inlmath]. Proveri još jednom zadatak. Da nisu date vrednosti same funkcije za [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=1[/inlmath]?

U stvari ne, treba ovaj uslov koji sam prvi stavio. Mada sam nasao u zbirci Merkle isti ovakav zadatak,samo sto je zadnji uslov ovaj kako sam se maloprije pokusao ispraviti. Sad sam zbunjen da li je mozda profesor pogrijesio kad je davao zadatak. Pih..

Neka je [inlmath]f[/inlmath] diferencijabilna funkcija na [inlmath]\left[0,1\right][/inlmath], pri čemu je [inlmath]f'\left(0\right)=1[/inlmath] i [inlmath]f'\left(1\right)=0[/inlmath]. Dokazati da postoji [inlmath]c\in\left(0,1\right)[/inlmath] tako da je [inlmath]f'\left(c\right)=c[/inlmath].

Rešenje. Posmatrajmo pomoćnu funkciju [inlmath]F[/inlmath] definisanu sa [inlmath]F\left(x\right)=f\left(x\right)−\frac{x^2}{2}[/inlmath].
Imamo da je [inlmath]F'\left(x\right)=f'\left(x\right)−x[/inlmath], pa je [inlmath]F'\left(0\right)=1[/inlmath] i [inlmath]F'\left(1\right)=−1[/inlmath]. Kako je funkcija [inlmath]F[/inlmath] neprekidna na [inlmath]\left[0,1\right][/inlmath], ona dostiže maksimum na tom segmentu. Zbog [inlmath]F'\left(0\right)>0[/inlmath] i [inlmath]F'\left(1\right)<0[/inlmath], tačke [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] nisu tačke maksimuma, pa se on dostiže u nekoj tački [inlmath]c\in\left(0,1\right)[/inlmath]; prema Fermat-ovoj teoremi je [inlmath]F'\left(c\right)=0[/inlmath], odnosno [inlmath]f'\left(c\right)=c[/inlmath].

---

http://www.milanmerkle.com/documents/1- ... insert.pdf
[inlmath]511.[/inlmath] zadatak u Merkleovoj zbirci,uradjen sa uslovom [inlmath]f'(c)=c[/inlmath].

Nije interval [inlmath][0,1][/inlmath],nego [inlmath](0,1)[/inlmath],ako to nesto znaci. To je jedina greska.