MATEMANIJA

Za prvi izvod funkcije znam da se dobije funkcija koja predstavlja kretanje te prvobitne funkcije.I to razumijem. Ali me zbunjuje dugi izvod trebalo bi nekako da je to funkcija koja predstavlja kretanje kretanja te prvobitne funkcije.Ali to ne mogu baš da razumijem ne da mi se povezati drugi izvod sa prvobitnom funkcijom nikako. To je bitno jer se upravo preko toga određuje pregib,konkavnost i konveksnost funkcije.Znam da tu nema puno kontati ali ne da se. Samo ako neko može da objasni taj drugi izvod funkcije (poveže ga sa prvobitnom funkcijom). Najbolje bi bilo ako ima neka geometrijska interpretacija npr za prvi izvod ima tangenta koja se kreće po funkciji.. Funkcija je konkavna kada je drugi izvod manj od nule. A konveksna je kada je drugi izvod veći od nule. A kada je drugi izvod jednak nuli tada predstavlja tačku pregiba konkavnosti u konveksnost.

procitaj ulogu izvoda u fizici...

u fizici prvi izvod predstavlja brzinu kretanja materijalne tacke dok drugi predstavlja ubrzanje... imas jos dosta primjena izvoda u fizici

prvi izvod prikazuje te promjenjivosti prvobitne funkcije (to je u konkretnom slucaju brzina), dok drugi izvod pokazuje promjenjivosti u prvom izvodu (u konkretnom slucaju to je ubrzanje)...

kada procitas u fizici tu primjenu sigurno ce ti biti lakse, tamo su dosta jednostavniji i nama ,,blizi,, primjeri od ovih iz matematike

Za prvi izvod sam znao da predstavlja brzinu u [inlmath]t-s[/inlmath] dijagramu.Zapravo i do prvog izvoda se došlo tako što su htjeli da izračunaju brzinu kretanja tjela u datom trenutku.A ovo za ubrzanje nisam znao ali ima logike...

pa izvod i jeste tangenta u zadanoj tacki, po tome mozes zakljuciti (graficki) da se na izvodu odrazavaju sve promjene funkcije... sto tangenta vise tezi da bude normalna na [inlmath]x[/inlmath] osu to funkcija brze raste... ista stvar je i sa drugim izvodom samo sto sada imas da funkcija predstavlja brzinu, ali bilo kakva promjena na grafiku predstavlja ubrzanje (pod njim se podrazumjeva i kad funkcija usporava- negativno ubrzanje)

pogledas grafik funkcije i vidis na primjer da u jednom dijelu funkcije kada [inlmath]x[/inlmath] poraste za [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] poraste za [inlmath]4[/inlmath] ali u nekom drugim dijelu kada [inlmath]x[/inlmath] poraste za [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] poraste za [inlmath]8[/inlmath]...

zato je izvod funkcije [inlmath]y=a,\;y'=0[/inlmath]
[inlmath]a[/inlmath] je konstanta sto znaci da ne dolazi do nikakvih promjena, najlakse je da zamislis kako se po funkciji krece ta tangenta i da vidis na taj nacin zavisnost izmedju funkcije i njenog izvoda, a posle zavisnost izmedju izvoda viseg reda...

a zbog toga sto on predstavlja promjene izvod konstante je uvijek jednak nuli, ako nacrtas neku funkciju, i takvu je pomjeris bilo gdje (bez da mjenjas ugao koji gradi sa [inlmath]x[/inlmath] osom) vidjeces da brzina kojom funkcija raste ce ostati nepromjenjena (na primjer to je ,,[inlmath]n[/inlmath],, u jednacini neke prave, a to je konstanta)

Dobro sad pusti prvi izvod i izvod konstante.Nisam tražio objašnjenje za to jer mi je jasno.Jedino što me je zbunjivalo je taj drugi izvod mada i to je sada rješeno.

Pa, ako je rešeno, daj thanx čoveku...

Ilustrovao bih ovu priču i sledećim sličicama. Posmatrajmo prvo jednu konkavnu funkciju:


Zeleno su obeležene tangente u određenim tačkama. Nagib tih tangenti, kao što znamo, predstavlja prvi izvod te funkcije. Vidimo da, kako [inlmath]x[/inlmath] raste, tako se nagib ovih tangenti smanjuje. To znači, s porastom [inlmath]x[/inlmath], smanjuje se prvi izvod. Pošto drugi izvod predstavlja promenu prvog izvoda s povećanjem [inlmath]x[/inlmath], a vidimo da se prvi izvod smanjuje, to znači da će izvod prvog izvoda, a to je drugi izvod – biti negativan.

Sada posmatrajmo obrnut slučaj – konveksnu funkciju:


Kod ove funkcije vidimo da se nagib tangenti, tj. prvi izvod, povećava s povećanjem promenljive [inlmath]x[/inlmath]. Analogno prethodno opisanom razmišljanju, zaključujemo da će drugi izvod, kao mera promene prvog izvoda s povećanjem [inlmath]x[/inlmath] – biti pozitivan.

Evo ide Thanks čovjeku...

ma nije potrebno gamma, ne pomazem ja tebi da bih imao neku korist od toga

Upravo zahvalno dugme je napravljeno da bi se sticala dodatna motivisanost za pomoć.I treba se uvijek zahvaliti kada se dobije pomoć.

Tema nije zatvorena, tako da bih je ja nastavio, pa makar i posle skoro dve nedelje...
Recimo, kratko bih dodao (u nadi da če se neko zainteresovati) da u prevojnoj tački funkcija prelazi sa jedne na drugu stranu svoje tangente.
Ovo je po mom mišljenju jedna jako lepa geometrijska interpretacija .

Evo da se nadovežem na ovu temu malo. Jasne su mi definicije konkavnosti i konveksnosti preko drugog izvoda i preko dvije tačke koje se spajaju na funkciji. Ali ovako govoreći uopšteno obije riječi pootiču iz latinskog jezika. Konveksan znači ispupčen. A konkavan udubljen. Ali kako god pogledam ove slike ovo mi djeluje zbunjujuće. Nekako imalo bi više smisla da je obrnuto. Ako neko samo može da mi rastumači ta dva pojma uopšteno. Evo sve se vidi sa ovih Danielovih slika. Ovde izgleda kao da je konkavna ispupčena a konveksna udubljena, obrnuto

Odlično pitanje.

Lično me veoma nervira bilo kakva nedoslednost u terminima kad je u pitanju matematika, koja, kao egzaktna nauka, ne bi smela imati dvosmislenosti. A toliko sam već skupio matematičkih dvosmislenosti (npr. da li nula pripada skupu [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath] ili ne, da li se za pravilnu piramidu podrazumeva da je istovremeno i prava piramida ili se ne podrazumeva, zatim šta tačno znači matematički identitet, da li je početna permutacija nulta ili prva, pa onda zbrka oko billion i bilion, ili trapezium i trapezoid na engleskom govornom području o kojoj smo baš juče raspravljali itd. itd.), da razmišljam da pokrenem posebnu temu u kojoj bismo prikupljali sve te matematičke termine koji svojom nejednoznačnošću stvaraju zabunu.

E, konveksnost i konkavnost funkcije upravo spadaju u takve dvosmislene termine.

Tačno je da konveksan znači ispupčen, a konkavan udubljen. Ali, sve zavisi odakle se gleda. Mi smo davno, u školi, konveksnost i konkavnost funkcije posmatrali odozgo, tj. s gornje strane u odnosu na grafik funkcije (sećam se da sam jednom, pošto je u to vreme bio neki kišovit i vetrovit period, a ja imao neki krš-kišobran, rekao u šali kako, čim malo jače dune, meni taj kišobran odmah pređe iz konveksnosti u konkavnost ). Ali, vidim da danas većina autora konveksnost i konkavnost funkcije posmatra odozdo, pa sam zato i ja tako tretirao funkcije na onim slikama koje sam priložio. U suštini, najpreciznije i sasvim nedvosmileno bilo bi reći za funkciju da li je konveksna (konkavna) odozgo ili odozdo, time bi svaka zabuna bila otklonjena.

Da rezimiram:
[inlmath]f''\left(x\right)<0\quad\Rightarrow\quad[/inlmath] funkcija je konkavna odozdo, tj. konveksna odozgo (većina autora će za ovu funkciju reći da je konkavna, a manjina autora da je konveksna).
[inlmath]f''\left(x\right)>0\quad\Rightarrow\quad[/inlmath] funkcija je konveksna odozdo, tj. konkavna odozgo (većina autora će za ovu funkciju reći da je konveksna, a manjina autora da je konkavna).

Daniel,
može se gledati i s leve i s desne strane, ne samo odozgo ili odozdo.
Ako ulazim u "rupu", ma s koje strane gledao, to je onda konkavna, tj. udubljena funkcija.
Ako naiđem na "vrh", to je onda ispupčena funkcija, tj. konveksna.
Slažem se da je to totalno nedorečeno, da se i autori oko toga ne slažu.
A zamislite tek u trodimenzionalnom prostoru.
A u prostorima većih dimenzija

Svaka čast na odgovorima !