MATEMANIJA

Dakle, imam sledeći problem:

Zadatak glasi: Ispitaj monotonost sledećih funkcija: đ) [inlmath]y=\sqrt{x^3-3x^2}[/inlmath].

Kao prvi izvod funkcije [inlmath]y[/inlmath] dobio sam [inlmath]\frac{3x-6}{2\sqrt{x-3}}[/inlmath]. Teorema koju koristim da bih odredio monotonost funkcije [inlmath]y[/inlmath] glasi:

Neka je funkcija [inlmath]f[/inlmath] diferencijabilna u intervalu [inlmath](a,b)[/inlmath]. Ako je [inlmath]f'(x)>0[/inlmath], za svako [inlmath]x[/inlmath] iz [inlmath](a,b)[/inlmath], tada je [inlmath]f[/inlmath] rastuća u tom intervalu. Ako je [inlmath]f'(x)<0[/inlmath] za svako [inlmath]x[/inlmath] iz [inlmath](a,b)[/inlmath], onda je [inlmath]f[/inlmath] opadajuća u tom intervalu.

U rešenju piše da [inlmath]y[/inlmath] raste za [inlmath]x\in(-\infty,0)\cup(2,+\infty)[/inlmath], a opada za interval [inlmath](0,2)[/inlmath]. Ja to ne mogu da zaključim iz svog rezultata za prvi izvod (kad je definisan samo za [inlmath]x[/inlmath] veće od [inlmath]3[/inlmath]). Možete li mi reći gde gešim?

Ne grešiš nigde. Funkcija je definisana i diferencijabilna samo za [inlmath]x>3[/inlmath], tako da je tvoje rešenje tačno.

Njihovo rešenje bi se dobilo kada bi, umesto kvadratnog, imao kubni koren – proveri da li si dobro prepisao funkciju.

Dobro sam prepisao funkciju. Dakle ova funkcija je rastuća za [inlmath]x>3[/inlmath] (u [inlmath]x=3[/inlmath] je definisana, ali izvod ne postoji) ? Hvala! Proveriću i šta se dešava kada se stavi treći koren.

Ako hoćete, možete ukloniti temu (onaj ko je zadužen za to).

Već sam te zamolio da ne citiraš celu prethodnu poruku – tačka 15. Pravilnika.

Nema nijednog razloga da uklanjamo teme u kojima je odgovoreno na pitanja. One obogaćuju sadržaj foruma.

Da, u [inlmath]x=3[/inlmath] funkcija je definisana ali ne i diferencijabilna. Za [inlmath]x<3[/inlmath] funkcija nije definisana, pa u tom intervalu nema smisla govoriti ni o njenoj monotonosti, dok je za [inlmath]x>3[/inlmath] monotono rastuća.

Nije loše podsetiti se i ovoga, baš u ovoj temi:

• Dovoljan uslov da funkcija ima ekstremnu vrednost u posmatranoj tački je da prelazi iz rašćenja u opadanje (maksimum) ili da prelazi iz opadanja u rašćenje (minimum).

Vidi se iz ovoga da ne mora čak ni biti definisan prvi izvod funkcije u posmatranoj tački. Naravno da može biti definisan i tako je najčešće, ali ne mora.

Sama funkcija mora biti definisana u posmatranoj tački, bespredmetno je bilo šta razmatrati van oblasti definisanosti same funkcije. To je pozornica na kojoj se sve dešava.
Ovo je u tesnoj vezi sa ispitavanjem monotonosti funkcije.
Može se pogledati i ova tema, koristiće
Posebno preporučujem linkove koje je dao Daniel u šestom postu na stranici koju sam ja linkovao.