MATEMANIJA

Evo još jednog problema (nikako da nestanu). Ispitivao sam monotonost funckije [inlmath]\mathrm{arctg}\left(1-\frac{1}{x}\right)[/inlmath] i dobio sam da je prvi izvod [inlmath]\frac{1}{2x^2-2x+1}[/inlmath], što je tačno. Zatim sam rešavao kvadratnu jednačinu [inlmath]2x^2-2x+1[/inlmath], da bih video kada prvi izvod nije definisan, a kada je manji ili veći od nule. Dobio sam iracionalna rešenja, što znači da je prvi izvod definisan na celom skupu realnih brojeva. Ali sada ne mogu da uzmem iracionalne brojeve kao granice za oblasti monotonosti, pa sam uradio sledeću stvar (ne znam koliko je matematički opravdana):

Ispitivao sam sledeće slučajeve:
[dispmath]2x^2-2x+1=2x(x-1)+1[/dispmath]
1) [inlmath]x\in(-\infty,0)\;\Rightarrow\;x<0\;\land\;x-1<0\;\Rightarrow\;2x(x-1)>0\;\Rightarrow\;2x(x-1)+1>0[/inlmath], pa sledi da je funkcija monotono rastuća u ovom intervalu.

2) [inlmath]x=0\;\Rightarrow\;2x(x-1)+1=1[/inlmath], pa sada sledi da je funkcija monotono rastuća na [inlmath](-\infty,0][/inlmath].

3) [inlmath]x\in(0,1)\;\Rightarrow\;x\in(0,1)\;\land\;x-1\in(-1, 0)\;\Rightarrow\;x(x-1)\in(-1,0)\;\Rightarrow\;2x(x-1)+1\in(-1,0)[/inlmath], pa sledi da je funkcija monotono opadajuća za [inlmath]x\in(0,1)[/inlmath].

4) [inlmath]x=1\;\Rightarrow\;2x(x-1)+1=1[/inlmath]

5) [inlmath]x\in(1,+\infty)\;\Rightarrow\;x>0\;\land\;x-1>0\;\Rightarrow\;2x(x-1)>0\;\Rightarrow\;2x(x-1)+1>0[/inlmath], pa na osnovu 4) i 5) sledi da je funkcija monotono rastuća za [inlmath]x\in[1,+\infty)[/inlmath].

Očigledno mi je da ovo nije tačno (jer funkcija drugačije izgleda na onom onlajn derivejtiv kalkulatoru), ali ja ne znam šta da radim. Kad [inlmath]x[/inlmath] teži nuli, ako teži sa leve strane onda funkcija teži [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath], a ako [inlmath]x[/inlmath] teži sa desne strane nuli, onda funkcija teži [inlmath]-\frac{\pi}{2}[/inlmath]. Šta se ovde događa? Šta to ne znam? Molim za pomoć!

Gogele je napisao:Dobio sam iracionalna rešenja, što znači da je prvi izvod definisan na celom skupu realnih brojeva. Ali sada ne mogu da uzmem iracionalne brojeve kao granice za oblasti monotonosti,

Pretpostavljam da je do greške u kucanju, ali čisto da otklonimo eventualni nesporazum – u pitanju su imaginarna, a ne iracionalna rešenja.

Postupak koji si ovde priložio je sasvim nepotrebno zakomplikovan, a ima i par grešaka. Dovoljno je bilo da uočiš da je izraz [inlmath]2x^2-2x+1[/inlmath] uvek veći od nule – to je kvadratna funkcija koja nema presek s [inlmath]x[/inlmath]-osom, budući da njena jednačina nema realna rešenja, a koeficijent uz kvadratni član joj je pozitivan, što znači da je teme parabole okrenuto prema dole a kraci prema gore, što, dalje, znači da je cela parabola iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose, tj. da je funkcija pozitivna za svako [inlmath]x[/inlmath] (ako s ovim nisi načisto, preporučujem da pogledaš ovaj post).
E, pošto je taj izraz pozitivan za svako [inlmath]x[/inlmath], zaključujemo i da je funkcija monotono rastuća na celom intervalu na kojem je definisana.

A kad smo kod definisanosti,

Gogele je napisao:2) [inlmath]x=0\;\Rightarrow\;2x(x-1)+1=1[/inlmath], pa sada sledi da je funkcija monotono rastuća na [inlmath](-\infty,0][/inlmath].

Ovaj slučaj nikako ne treba da razmatraš, budući da za [inlmath]x=0[/inlmath] funkcija nije definisana.

Gogele je napisao:3) [inlmath]x\in(0,1)\;\Rightarrow\;x\in(0,1)\;\land\;x-1\in(-1, 0)\;\Rightarrow\;x(x-1)\in(-1,0)\;\Rightarrow\;2x(x-1)+1\in(-1,0)[/inlmath], pa sledi da je funkcija monotono opadajuća za [inlmath]x\in(0,1)[/inlmath].

Kako si iz [inlmath]x\left(x-1\right)\in\left(-1,0\right)[/inlmath] zaključio da važi [inlmath]2x\left(x-1\right)+1\in\left(-1,0\right)[/inlmath]?

Da, dobio sam imaginarna rešenja, a ne iracionalna.

Kako si iz [inlmath]x\left(x-1\right)\in\left(-1,0\right)[/inlmath] zaključio da važi [inlmath]2x\left(x-1\right)+1\in\left(-1,0\right)[/inlmath]?

Postupak pri zaključivanju je bio sledeći: [inlmath]x(x-1)\in(-1,0)\;\Rightarrow\;2x(x-1)\in(-2,0)\;\Rightarrow\;2x(x-1)+1\in(-1,0)[/inlmath].

Dakle, pošto je prvi izvod stalno veći od nule, ova funkcija je stalno monotono rastuća na svim intervalima definisanosti, tj. za [inlmath]x\in(-\infty,0)\cup(0,+\infty)[/inlmath]. I sa grafika mi je to bilo očigledno, ali nisam znao ovo za osobine kvadratne funkcije u odnosu na vrste njenih nula, a grafik jasno pokazuje i da je prvi izvod stalno veći od nule (mada joj se opasno približava). Hvala! Vreme je da se krpe rupe u znanju!

Gogele je napisao:[inlmath]2x(x-1)\in(-2,0)\;\Rightarrow\;2x(x-1)+1\in(-1,{\color{red}0})[/inlmath]

Ako neki izraz pripada intervalu [inlmath]\left(a,b\right)[/inlmath], tada će taj izraz uvećan za vrednost [inlmath]c[/inlmath] pripadati intervalu [inlmath]\left(a+c,\;b+c\right)[/inlmath], logično? Znači, i levu i desnu granicu intervala treba da uvećaš za onu vrednost koju si dodao prvobitnom izrazu. Konkretno,
[dispmath]2x\left(x-1\right)\in\left(-2,0\right)\;\Rightarrow\;2x\left(x-1\right)+1\in\left(-1,{\color{red}1}\right)[/dispmath]
i to jeste tačno: za [inlmath]x\in\left(0,1\right)[/inlmath] izraz [inlmath]2x\left(x-1\right)+1[/inlmath] zaista pripada intervalu [inlmath]\left(-1,1\right)[/inlmath]. Ali, ne pripada celom tom intervalu, već samo intervalu [inlmath]\left(\frac{1}{2},1\right)[/inlmath], koji predstavlja podinterval intervala [inlmath]\left(-1,1\right)[/inlmath].
To se može i pokazati tako što se izraz [inlmath]2x\left(x-1\right)+1[/inlmath] napiše kao [inlmath]2x^2-2x+1[/inlmath] (tj. kao kvadratna funkcija), pa se onda prvo posmatra da li se [inlmath]x[/inlmath]-koordinata njenog temena nalazi unutar posmatranog intervala, [inlmath]x\in\left(0,1\right)[/inlmath]. Pri tome, teme predstavlja minimum funkcije, budući da je koeficijent uz kvadratni član pozitivan.
[inlmath]x[/inlmath]-koordinata temena data je izrazom [inlmath]x_T=-\displaystyle\frac{b}{2a}[/inlmath], tj. u ovom slučaju, [inlmath]x_T=-\displaystyle\frac{-2}{2\cdot2}=\frac{1}{2}[/inlmath], što znači da se nalazi unutar posmatranog intervala. Prema tome, minimalna vrednost funkcije unutar posmatranog intervala biće [inlmath]y[/inlmath]-koordinata njenog temena, koju možemo dobiti bilo da u izraz [inlmath]2x^2-2x+1[/inlmath] uvrstimo vrednost [inlmath]x_T[/inlmath], bilo da primenimo formulu za [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu temena, [inlmath]y_T=\displaystyle\frac{4ac-b^2}{4a}[/inlmath]. Dobije se [inlmath]y_T=\frac{1}{2}[/inlmath] i to je minimalna vrednost izraza [inlmath]2x^2-2x+1[/inlmath] za [inlmath]x\in\left(0,1\right)[/inlmath].
Gornja granica otvorenog intervala u kojem se nalazi vrednost izraza [inlmath]2x^2-2x+1[/inlmath] kada [inlmath]x\in\left(0,1\right)[/inlmath] dobije se kao veća od dve vrednosti tog izraza u svakoj od granica intervala [inlmath]x[/inlmath]. Znači, u [inlmath]0[/inlmath] i u [inlmath]1[/inlmath]. (Ako te ovo zbunjuje, nacrtaj grafik te funkcije, tj. parabolu, kao i granice intervala u kojem se nalazi [inlmath]x[/inlmath].)
Vrednost izraza [inlmath]2x^2-2x+1[/inlmath] za [inlmath]x=0[/inlmath] iznosi [inlmath]1[/inlmath], a za [inlmath]x=1[/inlmath] iznosi takođe [inlmath]1[/inlmath]. Pošto su ove dve vrednosti međusobno jednake, gornja granica otvorenog intervala u kojem se nalazi vrednost izraza [inlmath]2x^2-2x+1[/inlmath] biće [inlmath]1[/inlmath].
Dakle, za [inlmath]x\in\left(0,1\right)[/inlmath] izraz [inlmath]2x^2-2x+1[/inlmath] se nalazi u intervalu [inlmath]\left[\frac{1}{2},1\right)[/inlmath].

---

E sad, zbog čega se, primenom tvog rezona, ne dobija taj interval, već se dobija njegov nadinterval, [inlmath]\left(-1,1\right)[/inlmath]?
Prvo, za izraz [inlmath]x\left(x-1\right)[/inlmath] si odmah rekao da se, kada [inlmath]x\in\left(0,1\right)[/inlmath] mora nalaziti u intervalu [inlmath]\left(-1,0\right)[/inlmath]. I to je tačno, zaista se mora nalaziti u tom intervalu, ali time nisi dovoljno „suzio obruč“. Može se pokazati, na sličan način kao što sam gore pokazao, da se za [inlmath]x\in\left(0,1\right)[/inlmath] izraz [inlmath]x\left(x-1\right)[/inlmath] nalazi u intervalu [inlmath]\left[-\frac{1}{4},0\right)[/inlmath].
Ti si rezonovao da, pošto [inlmath]x[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath], a [inlmath]x-1[/inlmath] samim tim pripada intervalu [inlmath]\left(-1,0\right)[/inlmath], dakle, oba su po apsolutnoj vrednosti u intervalu [inlmath]\left(0,1\right)[/inlmath], sledi da i apsolutna vrednost njihovog proizvoda mora biti u tom intervalu, a pošto su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]x-1[/inlmath] suprotnog znaka, njihov proizvod je negativan, znači, nalazi se u intervalu [inlmath]\left(-1,0\right)[/inlmath]. Međutim, da bi njihov proizvod bio blizak vrednosti [inlmath]-1[/inlmath], potrebno je da istovremeno [inlmath]x[/inlmath] bude blisko [inlmath]1[/inlmath], a [inlmath]x-1[/inlmath] blisko [inlmath]-1[/inlmath], a to nije moguće. Kada je [inlmath]x[/inlmath] blisko [inlmath]1[/inlmath], tada je [inlmath]x-1[/inlmath] blisko [inlmath]0[/inlmath], kao i obratno – kada je [inlmath]x-1[/inlmath] blisko [inlmath]-1[/inlmath], tada je [inlmath]x[/inlmath] blisko [inlmath]0[/inlmath]. Znači, proizvod [inlmath]x\left(x-1\right)[/inlmath] nikad ne može biti blizak [inlmath]-1[/inlmath], što znači da tvoj zaključak [inlmath]x\left(x-1\right)\in\left(-1,0\right)[/inlmath] obuhvata širi interval od stvarnog.

(Ako ti je ovo zbunjujuće, evo pojednostavljenog primera. Uzmimo da [inlmath]x\in\left[0,1\right][/inlmath], tj. zatvoreni interval. Posmatramo proizvod [inlmath]x\left(1-x\right)[/inlmath]. U ovom slučaju oba faktora, i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]1-x[/inlmath], uvek su pozitivni i pripadaju intervalu [inlmath]\left[0,1\right][/inlmath]. Da li to znači da će i njihov proizvod pripadati celom intervalu [inlmath]\left[0,1\right][/inlmath]? Ne znači. Jer, da bi proizvod bio jednak [inlmath]1[/inlmath], tada moraju oba faktora, koja pripadaju intervalu [inlmath]\left[0,1\right][/inlmath], biti jednaka [inlmath]1[/inlmath], a to se nikad neće desiti: kada je [inlmath]x=1[/inlmath], tada je [inlmath]1-x=0[/inlmath]. I obratno, kada je [inlmath]1-x=1[/inlmath], tada je [inlmath]x=0[/inlmath].)

I, da se vratimo na naš primer – kad si utvrdio da [inlmath]x\left(x-1\right)[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left[-\frac{1}{4},0\right)[/inlmath], tada dalje radiš kako si i radio: [inlmath]2x\left(x-1\right)[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left[-\frac{1}{2},0\right)[/inlmath], a [inlmath]2x\left(x-1\right)+1[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\left[\frac{1}{2},1\right)[/inlmath].

---

Naravno, još jednom da naglasim – u ovom zadatku apsolutno nema potrebe za celim ovim postupkom, već ti ovime samo pokazujem zbog čega si dobio širi interval od onog koji bi trebalo da dobiješ, što te i sprečilo da pravilno odrediš intervale monotonosti funkcije.