MATEMANIJA

U sferu poluprecnika [inlmath]r=1\text{ cm}[/inlmath] upisan je valjak maksimalne zapremine. Visina tog valjka jednaka je ?
Ja sam ovaj zadatak uradio ali nesto me je zbunilo ako se tako moze reci.
Prvo sam ovako uradio
[dispmath]r=1\text{ cm}\\
H=\sqrt{R^2-x^2}=\sqrt{4-x^2}\\
V=BH\\
V=x^2\pi\sqrt{4-x^2}\\
V'=\pi\frac{\left(-3x^3+8x\right)}{\sqrt{4-x^2}}\\
V'=0\\
x^2=\frac{8}{3}\\
H=\sqrt{4-\frac{8}{3}}=\frac{2\sqrt3}{3}\\[/dispmath]
Ovde sam napravio gresku kod [inlmath]V=x^2\pi\sqrt{4-x^2}[/inlmath] jer [inlmath]B=\frac{x^2}{4}\pi[/inlmath]

Zatim sam uradio na ispravan nacin:
[dispmath]H=\sqrt{R^2-\left(2a\right)^2}=2\sqrt{1-a^2}\\
V=BH\\
V=a^2\pi2\sqrt{1-a^2}\\
V'=\pi\frac{\left(-6a^3+4a\right)}{\sqrt{1-a^2}}\\
V'=0\\
x^2=\frac{2}{3}\\
H=2\sqrt{1-\frac{2}{3}}=\frac{2\sqrt3}{3}[/dispmath]
Resenja dobijam ista.
Zanima me da li je ovo moguce,ili sam mozda u prvom na pocetnu gresku napravio jos jednu koja ju je da kazem ponistila.

Ta greška u ovom slučaju nema uticaja na tačnost rešenja.

Ovako, s greškom, dobio si da je prvi izvod
[dispmath]V'=\pi\frac{-3x^3+8x}{\sqrt{4-x^2}}[/dispmath]
a da nisi izostavio tu jednu četvrtinu, dobio bi četiri puta manju vrednost izvoda:
[dispmath]V'=\pi\frac{-3x^3+8x}{4\sqrt{4-x^2}}[/dispmath]
Budući da, radi traženja maksimuma zapremine, prvi izvod izjednačavaš s nulom, konstante koje u izvodu figurišu nemaju nikakvog uticaja:
[dispmath]\pi\frac{-3x^3+8x}{\sqrt{4-x^2}}=0[/dispmath][dispmath]\pi\frac{-3x^3+8x}{4\sqrt{4-x^2}}=0[/dispmath]
U oba slučaja (i u pogrešnom i u tačnom postupku) ovo se svodi na [inlmath]-3x^3+8x=0[/inlmath], što daje tačno rešenje.

Razumeo

Bio bih slobodan da predlozim drugaciji nacin:
fakticki se vidi iz zadatka [inlmath]1^2=\frac{H^2}{4}+r^2[/inlmath] i sad odatle [inlmath]1-\frac{H^2}{4}=r^2[/inlmath]
i onda znamo [inlmath]V=r^2\pi\cdot H[/inlmath] i naravno [inlmath]V'=0[/inlmath] i zamenimo [inlmath]r^2[/inlmath] i dobijamo sledece
[dispmath]\Biggl(\left(1-\frac{H^2}{4}\right)\cdot H\Biggr)'=0[/dispmath][dispmath]\left(H-\frac{H^3}{4}\right)'=0[/dispmath][dispmath]H'-\left(\frac{H^3}{4}\right)'=0[/dispmath][dispmath]1-\frac{3H^2\cdot4-0}{16}=0[/dispmath][dispmath]16-12H^2=0[/dispmath][dispmath]12H^2=16[/dispmath][dispmath]H^2=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}[/dispmath][dispmath]H=\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}[/dispmath]

JohnLocke je napisao:Bio bih slobodan da predlozim drugaciji nacin:

Uvek budi slobodan da izložiš bilo koji način koji se razlikuje od već pokazanih.

Svakako preporučujem ovaj način na koji si ti radio, jer je bolje (brže, elegantnije), pošto se traži visina, da onda poluprečnik osnove valjka izrazimo preko visine i odatle nađemo visinu, nego da visinu izrazimo preko poluprečnika osnove pa tek kad odredimo poluprečnik osnove onda preko njega računamo visinu, što je suvišan posao.

Samo jedna sugestija,

JohnLocke je napisao:[dispmath]H'-\left(\frac{H^3}{4}\right)'=0[/dispmath][dispmath]1-\frac{3H^2\cdot4-0}{16}=0[/dispmath]

Izvod od [inlmath]\displaystyle\frac{H^3}{4}[/inlmath] ne moraš računati kao izvod količnika (nije greška, ali je potpuno nepotrebno). Ovu četvorku u imeniocu ne moramo posmatrati kao funkciju, već kao konstantu, što ona i jeste. I onda ona kao konstanta izađe ispred izvoda, i ostaje
[dispmath]\frac{1}{4}\left(H^3\right)'=\frac{1}{4}\cdot3H^2=\frac{3H^2}{4}[/dispmath]
Eto, mnogo jednostavnije.