MATEMANIJA

Evo jedan baby zadatak
[dispmath]f(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x^2-1}}=\sqrt{\frac{(x-2)^2}{x^2-1}}[/dispmath][dispmath]f '(x)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x^2-1}{(x-2)^2}}\cdots[/dispmath]
Kako ću dalje? Je li se moglo jednostavnije početi?

I nešto mi je u ovom krivo jer se ne poklapa skroz sa rješenjem iz udžbenika
[dispmath]f(x)=\sqrt{\frac{3}{2x^2-1}}=\left(\frac{3}{2x^2-1}\right)^\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]f'(x)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2x^2-1}{3}}\cdot\frac{0-3(4x)}{\left(2x^2-1\right)^2}[/dispmath][dispmath]f'(x)=\frac{-6x\left(2x^2-1\right)^\frac{1}{2}}{3^\frac{1}{2}}\cdot\frac{1}{\left(2x^2-1\right)^2}[/dispmath][dispmath]f'(x)=\frac{-6x}{\sqrt 3\sqrt{\left(2x^2-1\right)^3}}[/dispmath]
[dispmath]\mbox{Rj:}\quad\frac{-2\sqrt 3 x}{\sqrt{\left(2x^2-1\right)^3}}[/dispmath]
EDIT: Racionalizacija, skužia sam

Nisi morao [inlmath]\left(x-2\right)[/inlmath] ubacivati pod koren. Mogao si da radiš, jednostavno, kao izvod količnika:
[dispmath]f\:'\!\left(x\right)=\left(\frac{x-2}{\sqrt{x^2-1}}\right)'=\frac{\left(x-2\right)'\sqrt{x^2-1}-\left(x-2\right)\left(\sqrt{x^2-1}\right)'}{\left(\sqrt{x^2-1}\right)^2}=\frac{\sqrt{x^2-1}-\left(x-2\right)\frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}\cdot\left(x^2-1\right)'}{x^2-1}=\dots[/dispmath]
A inače, ako bi nastavio na ovaj način na koji si započeo, onda bi dalje išlo:
[dispmath]\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x^2-1}{\left(x-2\right)^2}}\cdot\left[\frac{\left(x-2\right)^2}{x^2-1}\right]'=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x^2-1}{\left(x-2\right)^2}}\cdot\frac{\left[\left(x-2\right)^2\right]'\left(x^2-1\right)-\left(x-2\right)^2\left(x^2-1\right)'}{\left(x^2-1\right)^2}=\dots[/dispmath]
DOPUNA: Ovaj način na koji si radio neće biti ispravan za deo funkcije u intervalu [inlmath]x\in\left(-\infty,2\right)[/inlmath], jer tada neće biti [inlmath]\left(x-2\right)=\sqrt{\left(x-2\right)^2}[/inlmath], već [inlmath]\left(x-2\right)=-\sqrt{\left(x-2\right)^2}[/inlmath], tako da moraš uzeti u obzir i znak izraza [inlmath]\left(x-2\right)[/inlmath]. Ipak je bolje da izbegneš to ubacivanje [inlmath]\left(x-2\right)[/inlmath] pod koren.

blake je napisao:[dispmath]f(x)=\sqrt{\frac{3}{2x^2-1}}=\left(\frac{3}{2x^2-1}\right)^\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]f'(x)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2x^2-1}{3}}\cdot\frac{0-3(4x)}{\left(2x^2-1\right)^2}[/dispmath]

U ovom slučaju ne moraš primenjivati formulu za izvod količnika. To možeš raditi jednostavnije, kao izvod proizvoda konstante i funkcije, [inlmath]\left[a\cdot f\left(x\right)\right]'=a\cdot f\:'\!\left(x\right)[/inlmath].
[dispmath]f\:'\!\left(x\right)=\left(\sqrt{\frac{3}{2x^2-1}}\right)'=\left(\frac{\sqrt 3}{\sqrt{2x^2-1}}\right)'=\left[\sqrt 3\left(2x^2-1\right)^{-\frac{1}{2}}\right]'=[/dispmath][dispmath]=\sqrt 3\left[\left(2x^2-1\right)^{-\frac{1}{2}}\right]'=\sqrt 3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\left(2x^2-1\right)^{-\frac{3}{2}}\cdot\left(2x^2-1\right)'=\dots[/dispmath]