MATEMANIJA

E ovako, meni nije jasno kako da izračunam drugi izvod od funkcije:
[dispmath]y=\frac{x^2-4}{1-x^2}[/dispmath]
Koisteći formulu:
[dispmath]\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'\cdot v}{v^2}[/dispmath]
Uspeo sam da izračunam prvi izvod od funkcije, koji mi je tačan i poklapa se sa rešenjem profesora.
Prvi izvod mi je ispao:
[dispmath]\frac{-6x}{\left(1-x^2\right)^2}[/dispmath]
Ali drugi izvod treba da ispadne ovako,
Tako smo dobili i u školi (slike iz sveske prilog, malo su mutne loša kamera.)
[dispmath]\frac{-6x\cdot\left(1+3x^2\right)}{\left(1-x^2\right)^3}[/dispmath]
a meni ispada u gornjem delu razlomka (brojiocu)
[dispmath]-6+6x^2+12 x[/dispmath]
Pokušavao sam da prokljuvim i preko online programa za rešavanje funkcije koji je tačno uradio (isto kao u školi), ali mi nije ništa jasnije
(nešto mi je on mnogo zakomplkovao, )
(u prilogu šaljem kako je program rešio)

Moje pitanje je, da li neko može da mi objasni kako najlakše i postupno rešiti ovaj zadatak? I ako može objašnjenje prve slike (slika 2 u komentaru) kako smo ovo razložili?
Samo ovaj zadatak mi predstavlja problem, a sutra imam ispit, pa bih molio za pomoć, pliz, ceo dan pokušavam ovo da rešim, ne ide mi nikako, a baš mi gori pod nogama.

DoktorD je napisao:Koisteći formulu:
[dispmath]\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'\cdot v}{v^2}[/dispmath]

Prvi izvod je u redu, ali formula nije dobra. Izvod kolicnina racuna se po formuli:
[dispmath]\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}[/dispmath]

DoktorD je napisao:Ali drugi izvod treba da ispadne ovako,
Tako smo dobili i u školi (slike iz sveske prilog, malo su mutne loša kamera.)
[dispmath]\frac{-6x\cdot\left(1+3x^2\right)}{\left(1-x^2\right)^3}[/dispmath]

Drugi izvod, bez ovog [inlmath]x[/inlmath] uz sesticu - kao sto je i na papiru. Pa drugi izvod odradis isto kao i prvi - imaces izvod kolicnika i kod drugog izvoda (s tim sto ces u okviru njega imati izvod slozene funckije, pa treba voditi racuna).

p.s. Takodje, predlozio bih ili da se slike prekucaju u Latex ili da se uklone, jer su ogromne, zauzimaju dosta prostora, a ne pomazu bas nesto u konkretnim pitanjima ovde.

Na tu forumulu sam i mislio, samo se ne snalazim baš najbolje u ovom lateksu ili kako se već zove.
Slike bih da uklonim, ali nema nigde opcija da izmenim poruku.
Da li bi mogao neko da mi uradi korak po korak drugi izvod?

Pa zaista ne znam kako si uspeo da odradis prvi izvod, a toliko se ne snalazis kod drugog izvoda. Na ovoj slici, drugi izvod odradjen je korak po korak (dobro, ne bas ekstremno detaljno, ali za tim nema ni potrebe verujem). Posto sutra, kako kazes, imas ispit, pitaj sta ti konkretno nije jasno sa tog papira gde je drugi izvod odradjen - ja sam raspolozen pa cu ti odgovoriti.

Ja u brojiocu dobijem ovo [inlmath]-6+6x^2+12x[/inlmath] peti put radim isti zadatak. Evo i drug koji mi je pomagao oko matematike je dobio ovo. Kako da dođem do [inlmath]6\cdot\left(3x^2+1\right)[/inlmath].
Samo to mi je problem. Osobine funkcije konveksnost, konkavnost domen i crtanje grafika, sve to znam.

Pa ovako - drugi izvod bice jednak (na osnovu formule za izvod kolicnika, radis izvod prvog izvoda):
[dispmath]f''(x)=\left(\frac{-6x}{\left(1-x^2\right)^2}\right)'=\frac{(-6x)'\left(1-x^2\right)^2-(-6x)\left(\left(1-x^2\right)^2\right)'}{\left(1-x^2\right)^4}=\cdots[/dispmath]
E sad u ovom koraku jedino moze biti problem trazenje izvoda [inlmath]\left(\left(1-x^2\right)^2\right)'[/inlmath]. Izvod [inlmath]\left(\left(1-x^2\right)^2\right)'[/inlmath] je izvod slozene funckije i radis ga na sledeci nacin:
[dispmath]\left(\left(1-x^2\right)^2\right)'=2\left(1-x^2\right)^{2-1}\left(1-x^2\right)'=2\left(1-x^2\right)(-2x)=-4x\left(1-x^2\right)[/dispmath]
Sada, kad to uvrstis gore, to ce dalje biti:
[dispmath]\cdots=\frac{-6\left(1-x^2\right)^2-(-6x)(-4x)\left(1-x^2\right)}{\left(1-x^2\right)^4}=\frac{-6\left(1-x^2\right)^2-24x^2\left(1-x^2\right)}{\left(1-x^2\right)^4}=\cdots[/dispmath]
Sad u ovom koraku u brojiocu kao zajednici izvuces [inlmath]-6\left(1-x^2\right)[/inlmath], pa ce se ovo transformisati u:
[dispmath]\cdots=\frac{-6\cancel{\left(1-x^2\right)}\Bigl(\left(1-x^2\right)+4x^2\Bigr)}{\left(1-x^2\right)^\cancelto{3}{4}}=\enclose{box}{\frac{-6\left(1+3x^2\right)}{\left(1-x^2\right)^3}}[/dispmath]
Ja mislim da detaljnije i razumnije zaista ne moze. Nadam se da sam ti pomogao i da ces shvatiti. Srecno sutra na ispitu.

Ilija je napisao:E sad u ovom koraku jedino moze biti problem trazenje izvoda [inlmath]\left(\left(1-x^2\right)^2\right)'[/inlmath]. Izvod [inlmath]\left(\left(1-x^2\right)^2\right)'[/inlmath] je izvod slozene funckije i radis ga na sledeci nacin:
[dispmath]\left(\left(1-x^2\right)^2\right)'=2\left(1-x^2\right)^{2-1}\left(1-x^2\right)'=2\left(1-x^2\right)(-2x)=-4x\left(1-x^2\right)[/dispmath]

E to mi je predstavljalo problem.Ovo skraćivanje i ostalo nije problem. Hvala.

Pa to ti je, kao sto vec rekoh, izvod slozene funkcije. Trebalo bi to da znas. U opstem slucaju, ako imas neku funkciju [inlmath]y=f(u)[/inlmath], gde je [inlmath]u[/inlmath] neka funkcija po [inlmath]x[/inlmath], dakle [inlmath]u=g(x)[/inlmath], izvod takve funkcije bice:
[dispmath]y'=f'(u)\cdot g'(x)[/dispmath]
Na primer imas funkciju [inlmath]y=\sqrt{5x}[/inlmath] - ovo je slozena funkcija jer je potkorena velicina neka druga funkcija. Znaci [inlmath]y=f(u)=\sqrt{5x}[/inlmath], gde je [inlmath]u=g(x)=5x[/inlmath]. I sad ako se vratimo u formulu gore dobijamo:
[dispmath]y'=f'(u)\cdot g'(x)=\left(\sqrt{5x}\right)'\cdot(5x)'=\frac{1}{2\sqrt{5x}}\cdot5=\frac{5}{2\sqrt{5x}}[/dispmath]

@DoktorD, pitanja se ovako ne postavljaju. Nije dovoljno da samo kažeš „ja u brojiocu dobijem to i to umesto da dobijem to i to“, pa da mi moramo da gledamo u pasulj u kom koraku si pogrešio.
Ako već tražiš pomoć, osnovni je red da priložiš ceo svoj postupak kojim si došao do pogrešnog rešenja, kako bismo pronašli grešku i ukazali ti na nju, ili, ako nisi siguran oko nekog dela postupka onda lepo da kažeš – taj i taj deo postupka mi pravi problem – kao što je ovde bio u pitanju izvod složene funkcije.
Posebno bih te zamolio da se uzdržiš od ovakvih zahteva:

DoktorD je napisao:Da li bi mogao neko da mi uradi korak po korak drugi izvod?

Zbog šturosti tvog pitanja, Ilija je morao da ti piše ceo postupak – i što treba, i što ne treba. Ja verujem da Iliji to nije bilo teško, ali smisao ovog foruma nije da dajemo rešenja na tacni, već da pomognemo onome ko rešava zadatak da sâm dođe do rešenja.
Dobrodošao si, ako želiš, da i ubuduće zamoliš za pomoć na ovom forumu, uz uslov da pročitaš Pravilnik i da ga se pridržavaš.
Glomazne attachmente sam uklonio.

Apsolutno se slazem sa Danielom. Ovo sam uradio iz dva razloga:
1) radi se o novom clanu i o prvom postavljenom zadatku
2) rece da sutra imas ispit - pa ajde, bio sam raspolozen da pomognem, bez nekog tvog propratnog komentara.

Hvala na pomoći, dobio sam 10. Profesor je stvarno ažuran i odmah je u toku dana pregledao testove i postavio na sajt fakulteta.Što se tiče postovanja na ovom forumu ne planiram više ništa da pitam, jer nemam više matematiku u svom daljem obrazovanju. Sada ću da imam programiranje i druge meni zanimljivije predmete u drugom semestru. Puno hvala. Želeo bih svima da se zahvalim na održavanju ovakvog foruma, i izinite malo na mom možda malo nepristojnom postovanju i što se ne snalazim baš najbolje sa lateksom.

Puno hvala svima, a posebno ILIJI.