MATEMANIJA

Imam problema sa jednim zadatkom
Pokazati da tangente krivih [inlmath]y=e^x,\quad y=e^{-x},\quad y=\frac{1}{2}\left(e^x+e^{-x}\right)[/inlmath] povučene u tačkama sa istom apscisom imaju zajedničku tačku.(Ušćumlić 1982.god. zadatak 2586.)
Ideja mi je išla da uzem da je [inlmath]y=a[/inlmath] i nađem tangente na tu krivu te bi dobili
[dispmath]1^\circ\quad\quad y-a=e^x\cdot\left(x-\ln a\right)\\
2^\circ\qquad y-a=-e^{-x}\cdot\left(x+\ln a\right)\\
3^\circ\quad\quad y-a=\frac{1}{2}\cdot\left(e^x-e^{-x}\right)\cdot\biggl(x-\ln\left(a+\sqrt{a^2+1}\right)\biggr)[/dispmath]
ali nisam uspio naci presječne tacke, ako sam dobro uradio jednačine tangenti. Može se lako pokazati da to važi za apscisu povučenu u [inlmath]y=1[/inlmath] nalaženjem presječne tačke tih krivih, koja je ista za sve, samo što to nije ono što se ovdje traži koliko ja vidim
p.s. zadatak sam stavio pod izvode jer je osnovna postavka zadatka vezana za izvode, slobodno prebacite ako neki podforum bolje odgovara za ovaj zadatak

Ne znam jesam li dobro razumeo tvoj postupak, ali jednačine tangenti bi morale biti linerane funkcije (jer su tangente prave linije), a ove jednačine koje si ti dobio ne predstavljaju linearne funkcije.

Ja sam radio tako što sam uzeo da je [inlmath]x=a[/inlmath] (tako mi se nekako čini logičnije), pa pošto je izvod prve funkcije jednak [inlmath]e^x[/inlmath], to će u tački [inlmath]a[/inlmath] izvod (tj. koeficijent pravca tangente) biti [inlmath]e^a[/inlmath]. Znači, jednačina pravca te tangente biće oblika [inlmath]y=e^ax+n[/inlmath]. Slobodan član [inlmath]n[/inlmath] određujemo iz uslova da je za [inlmath]x=a[/inlmath] vrednost [inlmath]y[/inlmath] jednaka [inlmath]e^a[/inlmath]:
[dispmath]e^a=ae^a+n\;\Longrightarrow\;n=e^a(1-a)[/dispmath]
pa je jednačina tražene tangente jednaka [inlmath]y=e^ax+e^a(1-a)[/inlmath].

To isto uradiš i za preostale dve funkcije, pri čemu za tangentu druge funkcije treba da dobiješ [inlmath]y=-e^{-a}x+e^{-a}(a+1)[/inlmath], a za tangentu treće [inlmath]y=\frac{1}{2}\left(e^a-e^{-a}\right)x+\frac{1}{2}\left[e^a(1-a)+e^{-a}(1+a)\right][/inlmath].

Nalaženjem [inlmath]x[/inlmath]-koordinate presečne tačke prve i druge tangente, a nakon toga prve i treće, dobijamo da su [inlmath]x[/inlmath]-koordinate obe presečne tačke međusobno jednake i iznose [inlmath]x=a-\frac{e^a-e^{-a}}{e^a+e^{-a}}[/inlmath]. Samim tim moraju biti jednake i [inlmath]y[/inlmath]-koordinate, budući da je jedna ista tangenta (tangenta prve funkcije) korišćena u oba slučaja. Time je dokazano da se te dve presečne tačke poklapaju.

bole je napisao:p.s. zadatak sam stavio pod izvode jer je osnovna postavka zadatka vezana za izvode, slobodno prebacite ako neki podforum bolje odgovara za ovaj zadatak

Nisam siguran da l' je ovo pre za „Izvode“ ili za „Analitičku geometriju“, videću s ostalim moderatorima.

Moj način je bio da nađem presječnu tačku [inlmath]y=a[/inlmath], samo kasnije nisam uvrstio vrijednost za [inlmath]x[/inlmath] gdje je trebalo, ali sad vidim da sam pogriješio kod razumijevanja na šta se mislilo pod ovim tačke sa istom apscisom. A moglo je i bez ovog oblika [inlmath]y=e^ax+n[/inlmath] već na primjer za prvu tangentu
[dispmath]x=a\;;\quad y=e^a\;;\quad k=e^a\\
y-e^a=e^a(x-a)\\
y=e^ax+e^a(1-a)[/dispmath]
Samo mi nije jasno kako si ti dobio ovu vrijednost presječnih tačaka ja dobijam
[dispmath]x=\frac{1+a-e^{2a}(1-a)}{e^{2a}+1}[/dispmath] ali nakon provjere na wolframu sam utvrdio da su oba rezultata ista, tako da nije ni bitno

bole je napisao:Samo mi nije jasno kako si ti dobio ovu vrijednost presječnih tačaka

Izjednačavanjem promenljivih [inlmath]y[/inlmath] u jednačini prve i druge tangente dobio sam
[dispmath]e^ax+e^a(1-a)=-e^{-a}x+e^{-a}(a+1)\\
e^ax+e^{-a}x=e^{-a}(a+1)-e^a(1-a)\\
\left(e^a+e^{-a}\right)x=ae^{-a}+e^{-a}-e^a+ae^a\\
x=\frac{a\left(e^a+e^{-a}\right)+e^{-a}-e^a}{e^a+e^{-a}}\\
x=a+\frac{e^{-a}-e^a}{e^a+e^{-a}}\\
x=a-\frac{e^a-e^{-a}}{e^a+e^{-a}}[/dispmath]

bole je napisao:ja dobijam
[dispmath]x=\frac{1+a-e^{2a}(1-a)}{e^{2a}+1}[/dispmath] ali nakon provjere na wolframu sam utvrdio da su oba rezultata ista, tako da nije ni bitno

Isto je:
[dispmath]x=\frac{1+a-e^{2a}(1-a)}{e^{2a}+1}\cdot\frac{e^{-a}}{e^{-a}}\\
x=\frac{e^{-a}+ae^{-a}-e^a+ae^a}{e^a+e^{-a}}\\
x=\frac{a\left(e^a+e^{-a}\right)+e^{-a}-e^a}{e^a+e^{-a}}[/dispmath]
što odgovara četvrtom koraku u mom postupku prikazanom gore...