MATEMANIJA

Data je funkcija [inlmath]y=x\ln x[/inlmath] i potrebno je naci njen [inlmath]n[/inlmath]-ti izvod. Isao sam po onoj formuli za sumu i po nekoj logici , posto je ovo proizvod dve funkcije , suma ce idi dok se ne ,,potrosi ,, izvod za neku od dve date funkcije , kako je prva funkcija [inlmath]y_1=x[/inlmath] , ona ima samo nulti i prvi izvod , i to kad se ubaci u formulu dobije se neko resenje , koje se drasticno razlikuje od tacnog. Ako moze mala pomoc .

Prvo da napomenem da bi trebo da koristis Latex za kucanje matematickih formula, zbog preglednijeg teksta.
Lajbnicova formula za [inlmath]n[/inlmath]-ti izvod proizvoda dve funkcije glasi:
[dispmath](f\cdot g)^{(n)}=\sum_{i=0}^n{n\choose i}f^{(i)}\cdot g^{(n-i)}[/dispmath] Sada kada ubacimo u tu formulu onu funkciju koju si ti naveo dobijamo:
[dispmath](x\cdot\ln x)^{(n)}=\sum_{i=0}^n{n\choose i}x^{(i)}\cdot\ln^{(n-i)}x=\\
{n\choose0}x^{(0)}\cdot\ln^{(n)}x+{n\choose1}x^{(1)}\cdot\ln^{(n-1)}x+{n\choose2}x^{(2)}\cdot\ln^{(n-2)}x+\cdots+{n\choose n}x^{(n)}\cdot\ln^{(0)}x=\\
x\cdot(-1)^{n+1}\frac{(n-1)!}{x^n}+n(-1)^n\frac{(n - 2)!}{x^{n-1}}+0+\cdots+0=\\
(-1)^{n+1}\frac{(n-1)!}{x^{n-1}}+n(-1)^n\frac{(n-2)!}{x^{n-1}}=\\
(-1)^n\frac{(n-2)!}{x^{n-1}}\bigl((-1)\cdot(n-1)+n\bigr)=\\
\enclose{box}{(-1)^n\frac{(n-2)!}{x^{n-1}}}[/dispmath] Naravno ova krajnja formula vazi za [inlmath]n\geq3[/inlmath]. Nulti izvod uzimamo da je sama ta funkcija, a pronaci [inlmath]n[/inlmath]-ti izvod od [inlmath]\ln x[/inlmath] je lako i vidis koji je u samom resenju.

Zapravo, formula važi već za [inlmath]x\ge2[/inlmath]. Inače, ovo se može uraditi i bez Lajbnicove formule, tako što se nađe prvih nekoliko izvoda zadate funkcije i uoči pravilnost:
[dispmath]y=x\ln x\\
y'=x'\ln x+x(\ln x)'=\ln x+1\\
y''=(\ln x+1)'=x^{-1}\\
y'''=-x^{-2}\\
y^{(4)}=2x^{-3}\\
y^{(5)}=-3\cdot2x^{-4}=-3!x^{-4}\\
y^{(6)}=4\cdot3!x^{-5}=4!x^{-5}\\
y^{(7)}=-5\cdot4!x^{-6}=-5!x^{-6}\\
\vdots\\
y^{(n)}=(-1)^n(n-2)!x^{-(n-1)}[/dispmath]

Trougao je napisao:Prvo da napomenem da bi trebo da koristis Latex za kucanje matematickih formula, zbog preglednijeg teksta.

Upravo tako. @Gekko, molim te da se toga ubuduće pridržavaš, tim pre što si prošli put već zamoljen da obratiš pažnju na forumska pravila.
Sugestija u vezi s pravopisom. Vidim da zarez pišeš razmaknuto od prethodne reči. To je pogrešno. Tačka, zarez i slični znakovi interpunkcije pišu se spojeno s prethodnom rečju.