MATEMANIJA

Koji je izvod (prvi) ove funkcije?
[dispmath]\ln\frac{\sin x}{x}[/dispmath]
I ako nije problem, korak po korak

Ih, taman posla da je problem.
[dispmath]y'=\left(\ln\frac{\sin x}{x}\right)'[/dispmath]
Izvod složene funkcije [inlmath]\left[g\circ f\left(x\right)\right][/inlmath] tražimo tako što prvo nađemo izvod funkcije [inlmath]g[/inlmath] pri čemu [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] posmatramo kao njen argument, a zatim to pomnožimo izvodom funkcije [inlmath]f[/inlmath].
(Ako je funkcija čiji izvod tražimo nastala slaganjem više potfunkcija, onda razlaganje ponavljamo dok ne dođemo do funkcije čiji argument ne možemo dalje razlagati na potfunkcije.)
[dispmath]y'=\left(\ln\frac{\sin x}{x}\right)'_{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}\cdot\left(\frac{\sin x}{x}\right)'[/dispmath]
[inlmath]\left(\ln x\right)'=\frac{1}{x}:[/inlmath]
[dispmath]y'=\frac{1}{\frac{\sin x}{x}}\cdot\left(\frac{\sin x}{x}\right)'=\frac{x}{\sin x}\cdot\left(\frac{\sin x}{x}\right)'[/dispmath]
Sada primenjujemo pravilo o izvodu količnika dve funkcije (obeležimo ih sa [inlmath]u[/inlmath] i [inlmath]v[/inlmath]), koje glasi:

[inlmath]\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}[/inlmath]
[dispmath]y'=\frac{x}{\sin x}\cdot\frac{\left(\sin x\right)'\cdot x-\sin x\cdot\left(x\right)'}{x^2}=\frac{x}{\sin x}\cdot\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}[/dispmath]
[dispmath]y'=\frac{x\cos x-\sin x}{x\sin x}[/dispmath]
[dispmath]y'=\mathrm{ctg}\:x-\frac{1}{x}[/dispmath]

Aha, znaci izvod cele funkcije pomnozimo izvodom funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath], ako sam lepo razumeo?

I jos nesto, da li mislis da ovde ima svega sto je potrebno (vise-manje) sto se tice izvoda?
http://sr.wikipedia.org/sr/%D0%A2%D0%B0 ... 0%B4%D0%B0

PocetnikSRB je napisao:Aha, znaci izvod cele funkcije pomnozimo izvodom funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath], ako sam lepo razumeo?

Ja bih to rekao ovako – izvod cele funkcije u tački koja ima vrednost [inlmath]\frac{\sin x}{x}[/inlmath] pomnožimo izvodom funkcije [inlmath]\frac{\sin x}{x}[/inlmath] u tački [inlmath]x[/inlmath].
Malo rogobatno zvuči, ali n'uspevam da nađem bolju formulaciju.

PocetnikSRB je napisao:I jos nesto, da li mislis da ovde ima svega sto je potrebno (vise-manje) sto se tice izvoda?
http://sr.wikipedia.org/sr/%D0%A2%D0%B0 ... 0%B4%D0%B0

Da, na toj stranici se nalazi apsolutno sve – pobrojane su sve osobine izvoda (sabiranje, množenje, deljenje, izvodi složenih funkcija tj. ovo što smo upravo sad radili), a dole imaš i tablicu elementarnih izvoda. Sve to je „potreban i dovoljan uslov“ da bi se mogli raditi svi zadaci s izvodima.

E vazi! Hvala

Ovo je samo pretposlednji korak zadatka kojeg smo radili na faxu. Cini mi se da je greska, al' mozda i ja gresim, ne znam.

[inlmath]x[/inlmath] tezi nuli:
[dispmath]\cdots =\cdots =\cdots\frac{-\cos x}{2(2\cos x+\cos x-x\sin x)}=\frac{1}{6}[/dispmath]
Ako ja ne gresim, resenje bi trebalo da bude
[dispmath]-\frac{1}{6}[/dispmath]
Zar ne?

Tvoje rešenje je tačno.

Sjajno