MATEMANIJA

Ako su date funkcije [inlmath]f(x)=x-\sin x[/inlmath] i [inlmath]g(x)=x+\sin x[/inlmath], da li se za funkciju [inlmath]\frac{f(x)}{g(x)}[/inlmath] može primeniti neko Lopitalovo pravilo, pri čemu je [inlmath]x\in(a,+\infty)[/inlmath]? Meni se čini da ne može, jer iako je [inlmath]\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty[/inlmath], ni [inlmath]g'(x)[/inlmath] ni [inlmath]g''(x)[/inlmath] nisu različiti od nule za svako [inlmath]x\in(a,+\infty)[/inlmath]. U rešenju zadatka je primenjeno neko Lopitalovo pravilo (samo da bi se ilustrovalo da se ne može na taj način izračunati [inlmath]\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}[/inlmath]).

Koliko sam shvatio glavni uslov za primenu Lopitalovih pravila je da je prvi izvod funkcije koja je imenilac, uvek različit od nule. Ostali zavise od toga kakve su date funkcije.

Kod Lopitalovog pravila suština ti je da u polaznom limesu moraš da imaš identitet ili [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath] ili [inlmath]\frac{\infty}{\infty}[/inlmath]. Dakle, nije bitno da li ćeš u rezultatu dobiti nulu ili neki drugi broj u imeniocu. Ako prilikom primene Lopitalovog pravila opet dobiješ identitet [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath] ili [inlmath]\frac{\infty}{\infty}[/inlmath], možeš ponovo da primeniš isto pravilo, i tako koliko god ti puta treba. Pogledaj, ima po forumu zadataka gde je Lopitalovo pravilo primenjeno više puta. Dve veoma česte greške su da se ne proveri da li u polaznom limesu imaš tražene identitete i da se traži izvod količnika umesto količnik izvoda.

U konkretnom slučaju, Lopitalovo pravilo može da se primeni, mada ne vidim svrhu. Podeliš i brojilac i imenilac sa [inlmath]x[/inlmath] i odmah vidiš rešenje.

miletrans je napisao:U konkretnom slučaju, Lopitalovo pravilo može da se primeni, mada ne vidim svrhu. Podeliš i brojilac i imenilac sa [inlmath]x[/inlmath] i odmah vidiš rešenje.

Koji god izvod funkcije [inlmath]g(x)[/inlmath] da koristim, uvek će biti neko [inlmath]x[/inlmath] za koje je taj izvod jednak nuli pa se zbog toga ne može primeniti Lopitalovo pravilo, koliko sam ja shvatio. To je jedan zajednički uslov za sva Lopitalova pravila (četiri ) na koja sam naišao u knjizi iz koje učim, tako da mi se čini da je ovo pogrešan primer za primenu ovih pravila.

Gogele je napisao:U rešenju zadatka je primenjeno neko Lopitalovo pravilo (samo da bi se ilustrovalo da se ne može na taj način izračunati [inlmath]\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}[/inlmath]).

[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{x-\sin x}{x+\sin x}=\lim_{x\to\infty}\frac{(x-\sin x)'}{(x+\sin x)'}=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\cos x}{1+\cos x}[/dispmath] Kao što vidiš, ovim nisi dobio nešto što bi moglo da se reši na neki zgodan način. Vidi, kada radiš Lopitala, uopšte te ne zanima kakav ćeš izvod da dobiješ. Bitno je da izrazi i u brojiocu i u imeniocu teže [inlmath]\infty[/inlmath] (u ovom slučaju) ili [inlmath]0[/inlmath]. Inače, kao što rekoh, ovaj limes može da se reši vrlo lako ako i brojilac i imenilac podeliš sa [inlmath]x[/inlmath].

Upravo tako, jer da bi se L'Hôpital smeo primeniti, potrebno je i da postoji limes [inlmath]\lim\limits_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/inlmath]. U ovom slučaju dobija se da pomenuti limes ne postoji, jer vrednost kosinusa u beskonačnosti nije određena, već kosinus u beskonačnosti „lebdi“ između [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath].