MATEMANIJA

Imam problem pri traženju nula prvog izvoda funkcije [inlmath]f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}[/inlmath] (u okviru ispitivanja funkcije). Dobio sam da je prvi izvod:
[dispmath]f'(x)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}-\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}.[/dispmath] Dalje sam dobio da je:
[dispmath]f'(x)=0\iff\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}\iff(2x+1)\sqrt{x^2-x+1}=(2x-1)\sqrt{x^2+x+1}.[/dispmath] Pošto je [inlmath]x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}[/inlmath] i [inlmath]x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}[/inlmath], sledi da su ovi izrazi veći od nule za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath], pa kada kvadriram zadnju jednakost dobijam da je:
[dispmath](2x+1)^2\left(x^2-x+1\right)=(2x-1)^2\left(x^2+x+1\right).[/dispmath] Ovaj izraz se svodi na [inlmath]6x=0[/inlmath], pa dobijam da je prvi izvod jednak nuli za [inlmath]x=0[/inlmath]. Međutim, dobija se da je [inlmath]f'(0)=1[/inlmath].
Kada pogledam grafik funkcije i prvog izvoda, vidim da prvi izvod nikad nije jednak nuli i [inlmath]f'(0)=1[/inlmath], pa mi nije jasno kako sam uopšte mogao da nađem rešenje jednačine [inlmath]f'(x)=0[/inlmath]?
Gde sam pogrešio?

U ovakvim situacijama pogrešan korak možeš locirati vrlo lako, tako što u svaki od koraka uvrštavaš dobijeno rešenje [inlmath]x=0[/inlmath] i posmatraš do kog koraka to rešenje neće zadovoljiti jednačinu, a od kog koraka će je zadovoljiti. Greška će, naravno, biti između poslednjeg koraka u kojem jednačina nije zadovoljena i prvog koraka u kojem je jednačina zadovoljena.

'Oćeš li da pokušaš tako (prilično je očigledno)? A posle možemo prodiskutovati i zbog čega je u tom koraku došlo do greške.

Prvo:

Gogele je napisao:Pošto je [inlmath]x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}[/inlmath] i [inlmath]x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}[/inlmath], sledi da su ovi izrazi veći od nule za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath]

Ovaj deo u prvom postu mi nije bio potreban kako bih uradio bilo šta iz prvog posta (nije uticalo na zaključke koje sam ranije napravio, bez obzira na njihovu tačnost). Mislio sam da mi to možda treba kako bih mogao da kvadriram, ali nema uticaja.

Drugo:
Zadnja jednakost koja nije tačna za [inlmath]x=0[/inlmath] je [inlmath](2x+1)\sqrt{x^2-x+1}=(2x-1)\sqrt{x^2+x+1}[/inlmath].
Prva jednakost koja je tačna za [inlmath]x=0[/inlmath] je [inlmath](2x+1)^2\left(x^2-x+1\right)=(2x-1)^2\left(x^2+x+1\right)[/inlmath].
Znači da nisam trebao da kvadriram.
Imamo sad da je [inlmath]x=\frac{-1}{2}[/inlmath] nula za levu stranu, a [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath] nula za desnu stranu jednakosti [inlmath](2x+1)\sqrt{x^2-x+1}=(2x-1)\sqrt{x^2+x+1}[/inlmath], pa sledi da je za [inlmath]x\in\left(\frac{-1}{2},\frac{1}{2}\right)[/inlmath] leva strana pozitivna, a desna negativna. Za [inlmath]x<\frac{-1}{2}[/inlmath] obe strane su negativne, a za [inlmath]x>\frac{1}{2}[/inlmath] obe strane su pozitivne. Ovo mi ne pomaže da dođem do nekog zaključka, ali sam primetio, pa da i to napišem.
Dakle, ne znam koju grešku pravim.

Gogele je napisao:Prvo:

Gogele je napisao:Pošto je [inlmath]x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}[/inlmath] i [inlmath]x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}[/inlmath], sledi da su ovi izrazi veći od nule za svako [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath]

Ovaj deo u prvom postu mi nije bio potreban kako bih uradio bilo šta iz prvog posta (nije uticalo na zaključke koje sam ranije napravio, bez obzira na njihovu tačnost). Mislio sam da mi to možda treba kako bih mogao da kvadriram, ali nema uticaja.

Taj deo je i te kako potreban, kako bi se pokazalo da je izvod definisan za svako realno [inlmath]x[/inlmath] (potkorene veličine nenegativne i imenioci razlomaka različiti od nule).
Mada mislim da si izabrao komplikovaniji način. Po meni, jednostavnije je uočiti da je diskriminanta oba kvadratna trinoma (i [inlmath]x^2-x+1[/inlmath] i [inlmath]x^2+x+1[/inlmath]) negativna, pa pošto je koeficijent uz kvadratni član pozitivan, lako se zaključuje da je vrednost i jednog i drugog trinoma pozitivna za svako realno [inlmath]x[/inlmath].
Drugo, njihova pozitivnost sledi i iz formule [inlmath]x^3+1=(x+1)\left(x^2-x+1\right)[/inlmath], odnosno [inlmath]x^3-1=(x-1)\left(x^2+x+1\right)[/inlmath]. Naime, u formuli [inlmath]x^3+1=(x+1)\left(x^2-x+1\right)[/inlmath], iz monotonosti funkcije [inlmath]x^3[/inlmath] sledi da faktori [inlmath]x^3+1[/inlmath] i [inlmath]x+1[/inlmath] moraju biti istog znaka za svako realno [inlmath]x[/inlmath], odakle sledi da faktor [inlmath]x^2-x+1[/inlmath] mora biti pozitivan za svako realno [inlmath]x[/inlmath]. Slično i za drugu formulu, tj. za faktor [inlmath]x^2+x+1[/inlmath].
Čak je ponekad dozvoljeno da se pozitivnost izraza [inlmath]x^2-x+1[/inlmath] i [inlmath]x^2+x+1[/inlmath] prihvata kao nešto što je po defaultu poznato, tj. ne traži se dokazivanje.

Gogele je napisao:Drugo:
Zadnja jednakost koja nije tačna za [inlmath]x=0[/inlmath] je [inlmath](2x+1)\sqrt{x^2-x+1}=(2x-1)\sqrt{x^2+x+1}[/inlmath].
Prva jednakost koja je tačna za [inlmath]x=0[/inlmath] je [inlmath](2x+1)^2\left(x^2-x+1\right)=(2x-1)^2\left(x^2+x+1\right)[/inlmath].

Upravo. Znači, do greške je došlo prilikom kvadriranja.

Gogele je napisao:Znači da nisam trebao da kvadriram.

Ne. Svakako je trebalo kvadrirati, jer se ne bi mogla drugačije rešiti jednačina. Ali, prilikom kvadriranja nisi postavio sve potrebne uslove.
Dakle, pre kvadriranja imamo:
[dispmath](2x+1)\sqrt{x^2-x+1}=(2x-1)\sqrt{x^2+x+1}[/dispmath] Kvadriranjem se gubi informacija o znaku (npr. kad bismo imali jednakost [inlmath]-1=1[/inlmath], koja je očigledno netačna, nakon kvadriranja bi postala [inlmath]1=1[/inlmath], čime bismo od netačne jednakosti dobili tačnu jer nismo vodili računa o uslovima). Zbog toga treba da diskutujemo na sledeći način. Imamo uslov da i leva i desna strana jednačine moraju biti istog znaka. Zbog toga što su [inlmath]\sqrt{x^2-x+1}[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{x^2+x+1}[/inlmath] uvek pozitivni, oni nemaju uticaja na znak leve, odnosno desne strane, te ostaje da faktori [inlmath]2x+1[/inlmath] i [inlmath]2x-1[/inlmath] moraju biti istog znaka (ili oba pozitivna, ili oba negativna). To možemo zapisati i kao [inlmath](2x-1)(2x+1)\ge0[/inlmath], jer proizvod dve veličine koje su istog znaka (ili eventualno nula) mora biti pozitivan (ili eventualno nula). To se, opet, može zapisati i kao [inlmath]4x^2-1\ge0[/inlmath] (ako ti je tako lakše da rešiš nejednačinu ovog uslova). Dobije se da je uslov [inlmath]x\in\Bigl(-\infty,-\frac{1}{2}\Bigr]\cup\Bigl[\frac{1}{2},+\infty\Bigr)[/inlmath]. (To je u skladu i s onim što si zapazio, da će dve strane imati suprotan znak za [inlmath]x\in\left(\frac{-1}{2},\frac{1}{2}\right)[/inlmath].)
Nakon postavljanja uslova [inlmath]x\in\Bigl(-\infty,-\frac{1}{2}\Bigr]\cup\Bigl[\frac{1}{2},+\infty\Bigr)[/inlmath], smemo bezbedno kvadrirati obe strane. Pošto ćemo kao jedino rešenje dobiti nulu, a nula ne ispunjava malopre postavljeni uslov, zaključujemo da jednačina nema rešenja.

Hvala!