MATEMANIJA

Dobar dan, imam problem s zadatkom: "Oko zadanog pravougaonika opišite pravougaonik maksimalne površine". Jasno mi je da je funkcija kojoj tražim maksimum [inlmath]P=xy[/inlmath] (Neka su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] stranice traženog pravougaonika). Međutim kako imam dvije nepoznate potrebno je da jednu nepoznatu izrazim pomoću druge i eventualno s stranicama početnog pravougaonika. Međutim, ne mogu pronaći vezu između ova dva pravougaonika. Kad se svede funkcija na jednu nepoznatu potrebno je naći njen prvi izvod i izjednačiti ga s nulom. Unaprijed hvala

Mislim da je najlakše raditi tako što se uoči da je [inlmath]P_{MNPQ}=P_{ABCD}+P_{\triangle ABM}+P_{\triangle BCN}+P_{\triangle CDP}+P_{\triangle DAQ}[/inlmath]:


Zatim se uoči da su trouglovi [inlmath]\triangle ABM[/inlmath] i [inlmath]\triangle CDP[/inlmath] podudarni, da su trouglovi [inlmath]\triangle BCN[/inlmath] i [inlmath]\triangle DAQ[/inlmath] podudarni, kao i da su trouglovi [inlmath]\triangle ABM[/inlmath] i [inlmath]\triangle CDP[/inlmath] slični s trouglovima [inlmath]\triangle BCN[/inlmath] i [inlmath]\triangle DAQ[/inlmath]. Odatle sledi da će, kad jedan od ta četiri trougla dostigne maksimalnu površinu, i ostala tri trougla dostići maksimalnu površinu. A pošto je [inlmath]P_{MNPQ}[/inlmath] jednaka zbiru [inlmath]P_{ABCD}[/inlmath] (koja je konstantna) i zbiru površina ova četiri trougla, to znači da će [inlmath]P_{MNPQ}[/inlmath] dostići maksimum onda kad površina bilo kog od ova četiri trougla dostigne maksimum, što dosta pojednostavljuje postupak.

Imajući ovo u vidu, zadatak se svodi na to da se nađe u kom slučaju će površina pravouglog trougla s konstantnom hipotenuzom biti maksimalna.

P.S. Dodao sam ti Latex-tagove u post, shodno tački 13. Pravilnika.