MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 28. jun 2016.
19. zadatak

Maksimalna zapremina prave pravilne četvorostrane piramide površine [inlmath]P[/inlmath] iznosi:

Ako moze pomoc, ja sam poceo tako sto sam izrazio visinu bocne strane preko stranice osnove i visine piramide
[dispmath]h^2=\frac{a^2}{4}+H^2[/dispmath] Odatle sam izrazio [inlmath]H[/inlmath] i zamenio u formuli za zapreminu i dobio
[dispmath]V=\frac{1}{6}\cdot a^2\cdot\sqrt{4\cdot H^2+a^2}[/dispmath] I kada ovde uradim prvi izvod dobijem da je
[dispmath]h^2=\frac{3}{8}\cdot a^2[/dispmath] Kada to zamenim da izrazim [inlmath]H[/inlmath] preko [inlmath]a[/inlmath] i povrsinu preko [inlmath]a[/inlmath] dobijem
[dispmath]a^2=\frac{P}{1+\sqrt6}[/dispmath] I onda to ne mogu lepo da sredim, ako neko zna gde gresim i ako moze da mi odgovori bio bih zahvalan

Molim te da tekst zadatka uvek napišeš u samom postu, umesto da linkuješ na njega. Prekucao sam ga sad ja. Osim što je bitno zbog preglednosti, štediš i trud onima koji žele da ti pomognu.

abudzabadabila je napisao:Ako moze pomoc, ja sam poceo tako sto sam izrazio visinu bocne strane preko stranice osnove i visine piramide
[dispmath]h^2=\frac{a^2}{4}+H^2[/dispmath]

Ovaj deo je u redu.

abudzabadabila je napisao:Odatle sam izrazio [inlmath]H[/inlmath] i zamenio u formuli za zapreminu i dobio
[dispmath]V=\frac{1}{6}\cdot a^2\cdot\sqrt{4\cdot H^2+a^2}[/dispmath]

Ovo ne valja. Prvo, sama formula nije tačna, a drugo, ti treba da izraziš zapreminu [inlmath]V[/inlmath] u funkciji površine [inlmath]P[/inlmath] i jedne od promenljivih (ili [inlmath]a[/inlmath] ili [inlmath]H[/inlmath], ali ovde je zgodnije da to bude promenljiva [inlmath]a[/inlmath]).
U ovoj tvojoj formuli ne figuriše [inlmath]P[/inlmath], a figurišu [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]H[/inlmath], prema tome, ona je neupotrebljiva za traženje izvoda i određivanje maksimalne zapremine.

abudzabadabila je napisao:I kada ovde uradim prvi izvod dobijem da je
[dispmath]h^2=\frac{3}{8}\cdot a^2[/dispmath]

Prvi izvod po kojoj promenljivoj, kad ih ovde imaš dve?

Dakle, prvo izrazi zapreminu preko površine [inlmath]P[/inlmath] i stranice [inlmath]a[/inlmath], zatim nađi izvod zapremine po stranici [inlmath]a[/inlmath] i to će biti to... Na kraju samo uvrstiš dobijeno [inlmath]a[/inlmath] u formulu za zapreminu..

Pogresio sam u kucanju ove formule gore, ali glavni problem mi je bio kako da izrazim zapreminu preko povrsine, uspeo sam da ga resim, hvala na pomoci

Postovani gospodini i gospodje zamolio bih da uradite ovaj zadatak ovde kako spada

Žao mi je, ali na ovom forumu ne dajemo rešenja „na tacni“, ovaj forum tako ne funkcioniše.
Ako ti nešto konkretno nije jasno oko dosad datih uputstava za rešavanje, slobodan si da pitaš.

Vazi hvala mislio sam da su ovde resenja zadataka

Došao sam do
[dispmath]V=\frac{H}{3}\left(P-a\sqrt{a^2+4H^2}\right)[/dispmath] i zakucao. Jesam li bar na dobrom putu? Kako dalje?

Ta formula jeste tačna, ali je beskorisna za ono što nam u zadatku treba.
Kao što gore napisah, potrebno je zapreminu izraziti u funkciji samo jedne promenljive (promenljive [inlmath]a[/inlmath]) i površine [inlmath]P[/inlmath] koja je konstantna.
Znači, ne smeju u formuli za zapreminu figurisati obe promenljive – i [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]H[/inlmath] – jer onda nećemo moći da tražimo izvod. Za traženje izvoda potrebno je da imamo jednu promenljivu.
Pođeš od [inlmath]V=\frac{1}{3}a^2H[/inlmath], i sad treba [inlmath]H[/inlmath] da izraziš preko [inlmath]a[/inlmath] i preko [inlmath]P[/inlmath]. Pošto je [inlmath]P=a^2+4\cdot \frac{1}{2}a\sqrt{\frac{a^2}{4}+H^2}[/inlmath], sad iz te jednakosti izraziš koliko je [inlmath]H[/inlmath] (u zavisnosti od [inlmath]a[/inlmath] i od [inlmath]P[/inlmath]), pa zatim to uvrstiš umesto [inlmath]H[/inlmath] u formulu za zapreminu [inlmath]V=\frac{1}{3}a^2H[/inlmath]...

Imam pitanje. Izrazio sam [inlmath]V[/inlmath] pomocu povrsine i stranice, ali dobijam nesto slozeniji izraz pod korenom. Izvode smo bas slabo radili u skoli i ne kapiram ih najbolje. Da li neko moze da uradi izvod izraza koji je gore napisan vec (ovo mi je prvi komentar na forumu pa ne znam jos uvek kako da napisem izraz pomocu latexa). Cisto da vidim na koju "foru" se rade ovi slozeniji izvodi.

Mi nigde gore nismo imali napisan izraz čiji izvod treba tražiti. Do takvog izraza tek treba da dođemo, a napisao sam i kako:

Daniel je napisao:Pošto je [inlmath]P=a^2+4\cdot \frac{1}{2}a\sqrt{\frac{a^2}{4}+H^2}[/inlmath], sad iz te jednakosti izraziš koliko je [inlmath]H[/inlmath] (u zavisnosti od [inlmath]a[/inlmath] i od [inlmath]P[/inlmath]), pa zatim to uvrstiš umesto [inlmath]H[/inlmath] u formulu za zapreminu [inlmath]V=\frac{1}{3}a^2H[/inlmath]...

I time ćeš dobiti izraz za zapreminu u kojem figuriše samo jedna promenljiva, [inlmath]a[/inlmath] (tj. ne figuriše [inlmath]H[/inlmath]). E, od tog izraza treba tražiti izvod i izjednačiti ga s nulom. Jesi li to uradio?