MATEMANIJA

6. zadatak
Data je funkcija [inlmath]f(x)=x-\sin\pi x\cdot\cos\pi x+\frac{\ln2x}{x}+e^{\text{tg }2\pi x}[/inlmath] tada je vrednost izraza [inlmath]f'\left(\frac{1}{2}\right)[/inlmath] jednaka:
[inlmath]A)\quad0\\
B)\quad5+3\pi\\
C)\quad3\pi\\
D)\quad5\\
E)\quad e[/inlmath]

Pokusacu malo da uprostim funkciju pa cu kasnije da racunam prvi izvod
[inlmath]\sin\pi x\cdot\cos\pi x[/inlmath] napisacu preko dvostrukog ugla sinusa
[inlmath]\sin\pi x\cdot\cos\pi x=\frac{1}{2}\sin2\pi x[/inlmath]
[dispmath]f(x)=x-\frac{1}{2}\sin2\pi x+\frac{\ln2x}{x}+e^{\text{tg }2\pi x}\\
f'(x)=1-\frac{1}{2}\cos2\pi x\cdot 2\pi+\frac{\cancel{\frac{1}{2x}}\cdot\cancel{2x}-\ln2x}{x^2}+e^{\text{tg }2\pi x}\cdot\frac{1}{\cos^22\pi x}\cdot2\pi\\
f'(x)=1-\cos2\pi x\cdot\pi-\frac{1-\ln2x}{x^2}+e^{\text{tg }2\pi x}\cdot\frac{1}{\cos^22\pi x}\cdot2\pi[/dispmath] Sada sam [inlmath]x[/inlmath] zamenila sam [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] mislim da je tako najjednostavnije
[dispmath]f'\left(\frac{1}{2}\right)=1+\pi+4+2\pi=\enclose{box}{5+3\pi}[/dispmath]

Treći izraz za [inlmath]f'(x)[/inlmath] pogrešan je predznak ispred izraza [inlmath]1-\ln2x[/inlmath], treba biti [inlmath]+[/inlmath] a ne [inlmath]-[/inlmath].