MATEMANIJA

Ovaj zadatak sam dobio na ispitu, gledao sta kako vrti knjigu, ne znam ni kako da pocnem al osecam da nije nesto komplikovano,

Pa kaze

Koristeci pojam diferencijabilnosti funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] dokazati pribliznu formulu
[dispmath]\sqrt[2]{1+x}\approx1+\frac{x}{2}[/dispmath] kako ovo resiti, ako neko ima vremena da razjasni... Hvala unapred

Pozdrav.

Primeni Tejlorov razvoj funkcije u tacki [inlmath]x=0[/inlmath].

Oblik Tejlorovog razvoja u toj tacki je: [inlmath]f(x)=f(0)+\frac{f^{1}(0)x}{1!}+\frac{f^{2}(0)x^2}{2!}+\frac{f^{3}(0)x^3}{3!}+\cdots+\frac{f^{n}(0)x^n}{n!}[/inlmath] gde su [inlmath]f^{n}[/inlmath] izvodi date funkcije.

Formula uopšte nije približna u slučaju kada [inlmath]x[/inlmath] nije u okolini nule. Npr. za [inlmath]x=-1[/inlmath] važi [inlmath]\sqrt{1+x}={\color{red}0}[/inlmath] i [inlmath]1+\frac{x}{2}={\color{red}\frac{1}{2}}[/inlmath], dok za [inlmath]x=8[/inlmath] važi [inlmath]\sqrt{1+x}={\color{red}3}[/inlmath] i [inlmath]1+\frac{x}{2}={\color{red}5}[/inlmath].
Tako da pretpostavljam da u tekstu zadatka nedostaje jedan deo.

Za dokazivanje približnosti u okolini nule radi se ovako kako je pokazao Subject, uz malu korekciju da se izvodi funkcije [inlmath]f[/inlmath] obeležavaju sa [inlmath]f^{(1)},f^{(2)},f^{(3)},\ldots,f^{(n)}[/inlmath].
Takođe, ako imamo znak jednakosti, tada nakon člana [inlmath]\frac{f^{n}(0)x^n}{n!}[/inlmath] treba staviti još tri tačke budući da tada razvoj ide u beskonačnost, a ukoliko imamo konačan broj članova razvoja (tj. do [inlmath]n[/inlmath]-tog, ovako kako je napisao Subject), tada moramo umesto znaka jednakosti pisati znak [inlmath]\approx[/inlmath].

moguce da fali da to da je za u okolini tacke [inlmath]0[/inlmath], ovako je on napiso na tabli ja prepisao samo...

covek mozda jeste strucnjak i sve al je jako los predavac, odnosno lose prenosi znanje, jer dosta stvari tako izostavlja ili ne kaze... ali to ovde nije tema

hvala u svakom slucaju verovatno se trazi u okolini nule sad dalje da se odradi to da ne ponovi slucajno

To možeš proveriti ako u Wolfram ukucaš razliku ta dva izraza, tj. [inlmath]\sqrt{1+x}-\left(1+\frac{x}{2}\right)[/inlmath]. Da bi ta dva izraza bila približna, njihova razlika treba da iznosi približno nula. Logično.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2Bx%2F2)-sqrt(1%2Bx)
Sa grafika se jasno vidi da će razlika ta dva izraza biti približno nula onda kada je [inlmath]x[/inlmath] približno nula.

Ucio pa naucio nasao sam odgovr na svoje pitanje pa

[inlmath]\sqrt[2]{x+1}\approx1+\frac{x}{2}[/inlmath]

[inlmath]f(x_0+\Delta{x})-f(x_0)\approx f{(x_0)}'\Delta x[/inlmath]

[inlmath]\Delta x=x ;x_0=1;f(x)=\sqrt{x}\Rightarrow f{(x)}'=\frac{1}{2\sqrt{x}}[/inlmath]

[inlmath]\sqrt{x_0+\Delta x}-\sqrt{x_0}\approx \frac{1}{2\sqrt{x_0}}\cdot \Delta x[/inlmath]

pa kada sve ovo zamenimo bice

[inlmath]\sqrt{1+x}-\sqrt{1}\approx \frac{1}{2\sqrt{1}}\cdot x[/inlmath] odnosno

[inlmath]\sqrt[2]{x+1}\approx1+\frac{x}{2}[/inlmath]