MATEMANIJA

Pozdrav,
Pokušavam riješiti zadatak sa ispita u okviru predmeta Matematika 1 na ETF-u. Zadatak glasi: "Od svih pravouglih trouglova koji imaju obim [inlmath]2s[/inlmath], odrediti onaj koji ima najveću površinu." Shvatam da je potrebno primjeniti Heronov obrazac i prvi izvod, ali ne uspijevam riješiti zadatak, pa vas molim za razjašnjenje.
Hvala unapred.

P.S: Pregledala sam već prethodne slične objave na forumu, ali nisu mi bile od koristi za rješavanje konkretno ovog zadatka.

Podrav, i te kako su od koristi, jer se kod svih primenjuje potpuno isti princip:

• Napišeš formulu za onu veličinu za koju se traži ekstremna vrednost (maksimum/minimum);
• U toj formuli će figurisati dve nepoznate, cilj ti je da svedeš na jednu nepoznatu, tako što ćeš jednu nepoznatu izraziti preko druge na osnovu podataka koji su u zadatku poznati;
• Nakon što dobiješ izraz s jednom nepoznatom, njegov izvod izjednačiš s nulom, kako bi dobila ekstremnu vrednost.

U kom koraku ti se pojavio problem? Kada izražavaš jednu katetu preko druge imaćeš iracionalnu jednačinu, da li te možda ona muči?
I, ne treba ti Heronov obrazac, on bi ovde samo iskomplikovao stvari. Heronov obrazac koristimo kod trouglova u opštem slučaju, a ovde je u pitanju pravougli trougao.

Vodi računa i o tome da na kraju dobijaš dva rešenja, pri čemu odbacuješ ono koje u realnosti nije moguće.

Hvala na brzom odgovoru i objašnjenju.
Pošto je u zadatku pomenuto [inlmath]s[/inlmath], prva asocijacija mi je bila Heronov obrazac, pa sam zato bila zbunjena. Sada sam riješila zadatak postupno, površina bude najveća kada su katete jednakih dužina, tj. [inlmath]a=b=c\cdot\frac{\sqrt2}{2}[/inlmath], pa je to pravougli trougao koji ima obim [inlmath]c\cdot\left(\sqrt2+1\right)[/inlmath]. Nadam se da je to tačno.
I da dobiju se dvostruka rješenja, pa sam odbacila ona sa negativnim predznakom.

Jeste, nakon izjednačenja izvoda površine s nulom, [inlmath]P'=s\frac{a^2-4as+2s^2}{(a-2s)^2}=0[/inlmath], dobije se [inlmath]a_{1,2}=s\left(2\pm\sqrt2\right)[/inlmath], odbacujemo rešenje s plusom jer stranica [inlmath]a[/inlmath] ne može biti veća od obima [inlmath]2s[/inlmath], pa ostaje samo [inlmath]a=s\left(2-\sqrt2\right)[/inlmath]. Odatle se dobije i da druga kateta [inlmath]b[/inlmath] iznosi isto toliko, tj. da je traženi pravougli trougao jednakokraki.

Molim te da od sledećeg posta počneš da koristiš Latex (tačka 13. Pravilnika).

Pozdrav, ja sam ovaj zadatak resila tako sto sam jednu katetu izrazila preko druge i kada tu jednakost ubacim u formulu za povrsinu trougla, pa zatim odredim prvi izvod funkcije dobijem da je P'=1/2×(c^2-〖2b〗^2)/√(c^2-b^2 ). Jeste da dobijem da su a=b= c×√2, ali me buni sto nigde nisam iskoristila obim.

Zamoliću i tebe da počneš da koristiš Latex. Tvoje pitanje, s upotrebom Latexa, izgledalo bi ovako:

helenatrojanska je napisao:Pozdrav, ja sam ovaj zadatak resila tako sto sam jednu katetu izrazila preko druge i kada tu jednakost ubacim u formulu za povrsinu trougla, pa zatim odredim prvi izvod funkcije dobijem da je [inlmath]P'=\frac{1}{2}\cdot\frac{c^2-(2b)^2}{\sqrt{c^2-b^2}}[/inlmath]. Jeste da dobijem da su [inlmath]a=b=c\sqrt2[/inlmath], ali me buni sto nigde nisam iskoristila obim.

Umesto obima si iskoristila hipotenuzu [inlmath]c[/inlmath], što je pogrešno, jer dužina [inlmath]c[/inlmath] nije konstanta, već zavisi od katete [inlmath]b[/inlmath] (a veza između [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] je, isto kao i između [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath], uslovljena podatkom da obim trougla iznosi [inlmath]2s[/inlmath]).

Dakle, u svom izrazu za površinu imaš dve promenljive, [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath], i zato izvod nije ispravno računati na način na koji si ga računala, pretpostavljajući da je [inlmath]c[/inlmath] konstanta (a sve i da [inlmath]c[/inlmath] jeste konstanta, opet izraz za izvod ne bi bio ispravan, nego bi trebalo da glasi [inlmath]P'=\frac{1}{2}\cdot\frac{c^2-2b^2}{\sqrt{c^2-b^2}}[/inlmath]).

Koristi vezu [inlmath]a+b+c=2s[/inlmath], u koju uvrstiš [inlmath]c=\sqrt{a^2+b^2}[/inlmath], kako bi izrazila [inlmath]b[/inlmath] preko [inlmath]a[/inlmath] (ili [inlmath]a[/inlmath] preko [inlmath]b[/inlmath], isti đavo) a zatim to uvrstila u formulu za površinu [inlmath]P=\frac{1}{2}ab[/inlmath].