MATEMANIJA

Nađite jedn. normale i tangente na parabolu [inlmath]y=2x^2+4x[/inlmath] u točkama u kojima parabola siječe os [inlmath]x[/inlmath].
[dispmath]t_1\ldots y-0=4(x-0)\;\Rightarrow\;y=4x[/dispmath][dispmath]n_1\ldots y-0=\frac{-1}{4}(x-0)\;\Rightarrow\;y=-\frac{1}{4}x[/dispmath]
[dispmath]t_2\ldots y+2=-4(x+2)\;\Rightarrow\;y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}[/dispmath]
Ovo je prvo krivo uvršteno ([inlmath]x_0[/inlmath]), a onda i krivo izračunato ?

blake je napisao:[inlmath]t_2\ldots y+2=-4(x+2)\;\Rightarrow\;y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}[/inlmath]

Kako dobiješ ovo? Tangenta u tački [inlmath](-2,0)[/inlmath] je oblika [inlmath]y=-4x-8[/inlmath], a normala je oblika [inlmath]y=\frac{x}{4}+\frac{1}{2}[/inlmath]. Ako te dobro razumem?

Prepisujem s ploče...Eto kako...

Nađite jednadžbu tangente i normale na krivulju zadanu parametarski sa:
[dispmath]x=\ln(\cos t+1)[/dispmath][dispmath]y=\mathrm{tg}\:t+\mathrm{ctg}\:t[/dispmath]
u točki [dispmath]t=\frac{\pi}{4}[/dispmath][dispmath]T_0(x_0,y_0)=T_0\left(\ln\left(\frac{\sqrt 2}{2}\right),2\right)[/dispmath][dispmath]y'=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}=\frac{(\cos t+1)\left(\sin^2t-\cos^2t\right)}{-\cos^2t\cdot \sin^3t}[/dispmath][dispmath]y'\left(\frac{\pi}{4}\right)=0[/dispmath][dispmath]\mbox{tangenta...}\:y-2=0\left(x-\ln\left(\frac{\sqrt 2}{2}+1\right)\right)\;\Rightarrow\;y=2[/dispmath][dispmath]\mbox{normala...}\:x=\ln\left(\frac{\sqrt 2}{2}+1\right)\:<<<\mbox{ ne razumin kako}[/dispmath]

blake je napisao:Nađite jedn. normale i tangente na parabolu [inlmath]y=2x^2+4x[/inlmath] u točkama u kojima parabola siječe os [inlmath]x[/inlmath].

Ubavic je u pravu, dobio je ispravna rešenja. Ovaj postupak što si prepisao s ploče nisam uspeo da shvatim, ali evo načina na koji bih ja rezonovao.

Prvo odredimo koje su to tačke preseka s [inlmath]x[/inlmath]-osom:
[dispmath]y=2x^2+4x=0\quad\Rightarrow\quad 2x\left(x+2\right)=0\quad\Rightarrow\quad x=0\;\lor\;x=-2[/dispmath]
Znači, tačke preseka s [inlmath]x[/inlmath]-osom su [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(-2,0\right)[/inlmath].

Koeficijent pravca tangente u nekoj tački funkcije jednak je prvom izvodu u toj tački funkcije, a prvi izvod ove funkcije je:
[dispmath]y'=\left(2x^2+4x\right)'=4x+4=4\left(x+1\right)[/dispmath]

---

U tački [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath]:
Tangenta:
[dispmath]t_1:\quad y=kx+n,\quad k=y'\left(0\right)=4\left(0+1\right)=4\\
t_1:\quad y=4x+n[/dispmath]
Slobodni parametar [inlmath]n[/inlmath] određujemo iz uslova da tangenta prolazi kroz tačku [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath]:
[dispmath]0=4\cdot 0+n\quad\Rightarrow\quad n=0[/dispmath]
pa je jednačina tangente u tački [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath]:
[dispmath]t_1:\quad y=4x[/dispmath]
Koeficijent pravca normale jednak je negativnoj recipročnoj vrednosti koeficijenta pravca tangente, pošto su normala i tangenta međusobno upravne:
[dispmath]n_1:\quad y=kx+n,\quad k=-\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad y=-\frac{1}{4}x+n[/dispmath]
Pošto i normala prolazi kroz tačku [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath], na osnovu toga nađemo [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]0=-\frac{1}{4}\cdot 0+n\quad\Rightarrow\quad n=0[/dispmath]
pa je jednačina normale u tački [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath]:
[dispmath]n_1:\quad y=-\frac{1}{4}x[/dispmath]

---

U tački [inlmath]\left(-2,0\right)[/inlmath]:
Tangenta:
[dispmath]t_2:\quad y=kx+n,\quad k=y'\left(-2\right)=4\left(-2+1\right)=-4\\
t_2:\quad y=-4x+n[/dispmath]
Slobodni parametar [inlmath]n[/inlmath] određujemo iz uslova da tangenta prolazi kroz tačku [inlmath]\left(-2,0\right)[/inlmath]:
[dispmath]0=-4\cdot\left(-2\right)+n\quad\Rightarrow\quad n=-8[/dispmath]
pa je jednačina tangente u tački [inlmath]\left(-2,0\right)[/inlmath]:
[dispmath]t_2:\quad y=-4x-8[/dispmath]
Koeficijent pravca normale jednak je negativnoj recipročnoj vrednosti koeficijenta pravca tangente, pošto su normala i tangenta međusobno upravne:
[dispmath]n_2:\quad y=kx+n,\quad k=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{4}x+n[/dispmath]
Pošto i normala prolazi kroz tačku [inlmath]\left(-2,0\right)[/inlmath], na osnovu toga nađemo [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]0=\frac{1}{4}\cdot\left(-2\right)+n\quad\Rightarrow\quad n=\frac{1}{2}[/dispmath]
pa je jednačina normale u tački [inlmath]\left(-2,0\right)[/inlmath]:
[dispmath]n_2:\quad y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}[/dispmath]

Pa jesam ja reka da nije dobija točno? Samo provjeravam s vama jesu li mi sumnje opravdane, bezveze si se raspisa

blake je napisao:bezveze si se raspisa

Pa kako možeš to da kažeš? Ništa nije bezveze, zar ne vidiš da svaki dan obogaćujem(o) ovu digitalnu riznicu rešenih zadataka?

Na ovaj zamalo da zaboravim...

blake je napisao:Nađite jednadžbu tangente i normale na krivulju zadanu parametarski sa:
[dispmath]x=\ln(\cos t+1)[/dispmath][dispmath]y=\mathrm{tg}\:t+\mathrm{ctg}\:t[/dispmath]
u točki [dispmath]t=\frac{\pi}{4}[/dispmath][dispmath]T_0(x_0,y_0)=T_0\left(\ln\left(\frac{\sqrt 2}{2}\right),2\right)[/dispmath][dispmath]y'=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}=\frac{(\cos t+1)\left(\sin^2t-\cos^2t\right)}{-\cos^2t\cdot\sin^3t}[/dispmath][dispmath]y'\left(\frac{\pi}{4}\right)=0[/dispmath][dispmath]\mbox{tangenta...}\:y-2=0\left(x-\ln\left(\frac{\sqrt 2}{2}+1\right)\right)\;\Rightarrow\;y=2[/dispmath]
[dispmath]\mbox{normala...}\:x=\ln\left(\frac{\sqrt 2}{2}+1\right)\:<<<\mbox{ ne razumin kako}[/dispmath]

Prvo, imaš grešku u koordinatama tačke [inlmath]T_0[/inlmath]:

blake je napisao:[dispmath]T_0(x_0,y_0)=T_0\left(\ln\left({\color{red}\frac{\sqrt2}{2}}\right),2\right)[/dispmath]

Treba da piše
[dispmath]T_0\left(x_0,y_0\right)=T_0\left[\ln\left(\frac{\sqrt2}{2}{\color{red}+1}\right),2\right][/dispmath]
jer su to vrednosti [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] kada se u izraze za [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] uvrsti [inlmath]t=\frac{\pi}{4}[/inlmath].

Pošto je pokazano da je [inlmath]y'\left(\frac{\pi}{4}\right)=0[/inlmath], a izvod predstavlja nagib tangente u nekoj tački funkcije, to znači da će nagib tangente u tački [inlmath]t=\frac{\pi}{4}[/inlmath] ove funkcije biti [inlmath]0[/inlmath], tj. tangenta u toj tački će biti horizontalna (paralelna s [inlmath]x[/inlmath]-osom). Pošto sve tačke na pravoj koja je paralelna s [inlmath]x[/inlmath]-osom imaju jednake [inlmath]y[/inlmath]-koordinate bez obzira na vrednosti svojih [inlmath]x[/inlmath]-koordinata, u jednačini takve prave neće figurisati [inlmath]x[/inlmath], a [inlmath]y[/inlmath] će biti jednako nekoj konstanti – konstanti koja pokazuje koliko je ta prava pomerena u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu. Zbog toga je sasvim logično da smo za jednačinu te prave dobili [inlmath]y=2[/inlmath].

S druge strane, normala u toj tački funkcije biće upravna na tangentu, a pošto je tangenta u ovom slučaju horizontalna, normala će biti vertikalna, tj. paralelna s [inlmath]y[/inlmath]-osom. Sve tačke na pravoj paralelnoj s [inlmath]y[/inlmath]-osom imaju jednake [inlmath]x[/inlmath]-koordinate, nezavisno od toga kolike su im [inlmath]y[/inlmath]-koordinate. Zbog toga u jednačini prave paralelne s [inlmath]y[/inlmath]-osom ne figuriše [inlmath]y[/inlmath], a [inlmath]x[/inlmath] je jednako konstanti i ta konstanta nam pokazuje odstojanje te prave od [inlmath]y[/inlmath]-ose. Zato je i logično što smo za jednačinu normale dobili [inlmath]x=\ln\left(\frac{\sqrt 2}{2}+1\right)[/inlmath], budući da [inlmath]\ln\left(\frac{\sqrt 2}{2}+1\right)[/inlmath] jeste neka konstanta.
Do te jednačine nismo mogli doći standardnim putem, tako što uzmemo negativnu recipročnu vrednost koeficijenta pravca tangente, budući da je koeficijent pravca tangente jednak nuli, pa njegova recipročna vrednost ne bi bila definisana. Ali, pošto znamo da normala koju tražimo prolazi kroz tačku čija je [inlmath]x[/inlmath]-koordinata [inlmath]x=\ln\left(\frac{\sqrt 2}{2}+1\right)[/inlmath], a normala je paralelna s [inlmath]y[/inlmath]-osom, tj. sve tačke na normali imaju jednake [inlmath]x[/inlmath]-koordinate, intuitivno zaključujemo da jednačina te normale glasi [inlmath]x=\ln\left(\frac{\sqrt 2}{2}+1\right)[/inlmath].

---

I, još jedan komentar u vezi s onim prethodnim zadatkom, pošto sam sad bolje osmotrio,

blake je napisao:[dispmath]t_2\ldots y+2=-4(x+2)\;\Rightarrow\;y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}[/dispmath]
Ovo je prvo krivo uvršteno ([inlmath]x_0[/inlmath]), a onda i krivo izračunato ?

I jedno i drugo, krivo je izračunato jer bi iz [inlmath]y+2=-4\left(x+2\right)[/inlmath] sledilo [inlmath]y=-4x-10[/inlmath] a ne to što su oni dobili, a krivo je uvršteno jer, ako tangenta čiji je koeficijent pravca [inlmath]k=-4[/inlmath] prolazi kroz tačku [inlmath]\left(-2,0\right)[/inlmath], tada je njena jednačina [inlmath]y-0=-4\left(x+2\right)[/inlmath], a odatle se dobije [inlmath]y=-4x-8[/inlmath].