MATEMANIJA

Pomocu definicije izvoda funkcije odrediti :
1) [inlmath]y=\ln x[/inlmath]
2) [inlmath]y=\mathrm{tg}\:x[/inlmath]

Pročitaj Pravilnik foruma

Definicija izvoda glasi
[dispmath]f\:'\left(x\right)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}[/dispmath]
[inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] u tom izrazu zameni zadatom funkcijom i nađi izvod. Kod prve funkcije iskoristi osobine logaritama i limes [inlmath]\lim\limits_{x\to 0}\left(1+x\right)^\frac{1}{x}=e[/inlmath], a kod druge funkcije primeni adicionu formulu za tangens, sredi malo taj izraz koji dobiješ i iskoristi limes [inlmath]\lim\limits_{x\to 0}\frac{\mathrm{tg}\:x}{x}=1[/inlmath].

Ubuduće, molim te, malo konkretizuj pitanja.

Evo za prvi ceo postupak:
[dispmath]f\:'\left(x\right)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}[/dispmath][dispmath]f\:'\left(x\right)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\ln\left(x+\Delta x\right)-\ln x}{\Delta x}[/dispmath][dispmath]f\:'\left(x\right)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\ln\frac{x+\Delta x}{x}}{\Delta x}[/dispmath][dispmath]f\:'\left(x\right)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\Delta x}\cdot\ln\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)[/dispmath][dispmath]f\:'\left(x\right)=\lim_{\Delta x\to 0}\ln\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^\frac{1}{\Delta x}[/dispmath][dispmath]f\:'\left(x\right)=\ln\lim_{\Delta x\to 0}\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^\frac{1}{\Delta x}[/dispmath][dispmath]f\:'\left(x\right)=\ln\lim_{\Delta x\to 0}\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^{\frac{1}{\frac{\Delta x}{x}}\cdot\frac{1}{x}}[/dispmath]
Smenom [inlmath]\frac{\Delta x}{x}=t[/inlmath]
[dispmath]=\ln\lim_{t\to 0}\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}\cdot\frac{1}{x}}[/dispmath][dispmath]=\ln\lim_{t\to 0}{\left(1+t\right)^{\frac{1}{t}}}^\frac{1}{x}[/dispmath][dispmath]=\ln e^\frac{1}{x}=\frac{1}{x}[/dispmath]
Drugi probaj samostalno, pa kaži dokle stigneš... Krećeš od ovoga:
[dispmath]f\:'\left(x\right)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\mathrm{tg}\left(x+\Delta x\right)-\mathrm{tg}\:x}{\Delta x}[/dispmath]