MATEMANIJA

Odrediti sve lokalne ekstremume funkcije [dispmath]f(x)=\ln\left(x^3-12x\right)[/dispmath]
Izvod ove funkcije je [inlmath]\frac{1}{x^3-12x}[/inlmath] Ali u resenju pise drugacije, negde sam pogresio.

Ako se dobro sećam – ovo su složene funkcije u kojima na mestu nepoznate [inlmath]x[/inlmath], stoji neki opširniji izraz. U tom slučaju je izvod sledeći: izvod funkcije puta izvod onog izraza koji igra ulogu nepoznate [inlmath]x[/inlmath], a to je u ovom slučaju [inlmath]x^3-12x[/inlmath].
[dispmath]f(x)=\ln\left(x^3-12x\right)\\[2em]
f'(x)=\frac{1}{x^3-12x}\cdot\left(x^3-12x\right)'=\frac{3x^2-12}{x^3-12x}=\frac{3\left(x^2-4\right)}{x\left(x^2-12\right)}[/dispmath]
Ovo se dobije na osnovu činjenice da je [inlmath](\ln x)'=\frac{1}{x}[/inlmath].

Šta kaže rešenje?

Pokusacu da dam grub dokaz za izvod slozene funkcije. Uzimajuci u obzir da je definicija izvoda [inlmath]f'(x)=\lim\limits_{\Delta{x}\to 0}\frac{f(x+\Delta{x})-f(x)}{\Delta{x}}[/inlmath]
Teorema. Ako funkcija [inlmath]x[/inlmath] ima izvod u (fiksiranoj) tački [inlmath]t[/inlmath], a funkcija [inlmath]y=f(x)[/inlmath] ima izvod u tački [inlmath]x=x(t)[/inlmath], tada i funkcija [inlmath]y=f(x(t))[/inlmath] ima izvod u tački [inlmath]t[/inlmath] i pri tome važi formula [inlmath]y'=f'(x)x'(t)[/inlmath] ili [inlmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\cdot\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}[/inlmath] .
Označimo sa [inlmath]\Delta x[/inlmath] priraštaj koji odgovara priraštaju [inlmath]\Delta t[/inlmath] u tački [inlmath]t[/inlmath],
tj.[inlmath]\Delta x=x(t+\Delta t)-x(t)[/inlmath], a sa [inlmath]\Delta y[/inlmath] priraštaj funkcije [inlmath]y=f(x(t))[/inlmath] koji odgovara priraštaju [inlmath]\Delta t[/inlmath]. Ako postoji okolina tačke [inlmath]t[/inlmath] u kojoj je [inlmath]\Delta x≠0[/inlmath], tada je
[dispmath]y'=\lim_{\Delta{t}\to 0}\frac{\Delta{y}}{\Delta{t}}[/dispmath]
[dispmath]=\lim_{\Delta{t}\to 0}\frac{f(x(t+\Delta{t}))-f(x(t))}{\Delta{t}}[/dispmath]
[dispmath]=\lim_{\Delta{t}\to 0}\frac{f(x+\Delta{x})-f(x)}{(x+\Delta{x})-x(t)}\cdot\frac{(x+\Delta{x})-x(t)}{\Delta{t}}[/dispmath]
[dispmath]=\lim_{\Delta{x}\to 0}\frac{f(x+\Delta{x})-f(x)}{\Delta{x}}\cdot\lim_{\Delta{t}\to 0}\frac{(x+\Delta{x})-x(t)}{\Delta{t}}[/dispmath]
[dispmath]=f'(x)\cdot x'(t)[/dispmath]
Neka je [inlmath]y=f(u)[/inlmath] i [inlmath]u=g(x)[/inlmath], onda je [inlmath]y=f(g(x))[/inlmath].
Onda imas [inlmath]y=\ln u[/inlmath] a [inlmath]u=g(x)=x^3-12x[/inlmath] onda ide
[dispmath]y'=\frac{1}{u}\cdot u'[/dispmath]

Može li neko da objasni razliku između lokalnih ekstrema i minimalne i maksimalne vrednosti funkcije? Tačnije, koji je postupak pri nalaženju minimanih i maksimalnih vrednosti funkcije?

Lokalni minimum je svako [inlmath]x[/inlmath] za koje funkcija prelazi iz opadanja u rašćenje.
Lokalni maksimum je svako [inlmath]x[/inlmath] za koje funkcija prelazi iz rašćenja u opadanje.
Ovo su dovoljni uslovi za lokalne ekstremne vrednosti.
Maksimalna vrednost funkcije je ono [inlmath]f(x)[/inlmath] koje je najveće na zadatom intervalu.
Minimalna vrednost funkcije je ono [inlmath]f(x)[/inlmath] koje je najmanje na zadatom intervalu.

A evo i ilustracije na jednom primeru:


Interval na kojem se ova funkcija posmatra je [inlmath]\left[a,b\right][/inlmath]. U tačkama [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] funkcija ima lokalne maksimume, ali maksimalnu vrednost na posmatranom intervalu funkcija ima samo u [inlmath]x=x_2[/inlmath]. Tačka [inlmath]x=x_1[/inlmath] jeste lokalni maksimum, ali u toj tački funkcija nema maksimalnu vrednost, jer na posmatranom intervalu postoje i tačke u kojima funkcija ima vrednost veću od [inlmath]f\left(x_1\right)[/inlmath].