eseper je napisao:Zašto ne možemo jednostavno izračunati volumen tijela od nule do kružnice s većim radijusom (gledajući u 2D), nego treba tražiti odvojeno za kružnicu i prsten? Jer, ako dobro shvaćam, tražimo volumen cijelog tijela (granice su veća kružnica), a ne samo prstena?
desideri je napisao:Bio bi to takav volumen da je cilindar, ali ti imaš paraboloid i ne možeš tako. Paraboloid se "izvija" nad prstenom.
Ja sam eseperovo pitanje drugačije shvatio. Ja mislim da eseper nije ni mislio da računa to kao cilindar, već da, idući s promenljivom [inlmath]z[/inlmath] od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath], posmatra kako bi se u svakoj od tih ravni menjao poluprečnik kruga od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]\sqrt2[/inlmath].
Može i tako da se radi. Na taj način, imali bismo samo jedan trojni integral:
[dispmath]V=\int\limits_0^{2\pi}\mathrm d\phi\int\limits_0^1\mathrm dz\int\limits_0^{\sqrt{z+1}}r\mathrm dr[/dispmath]
Za integral po [inlmath]r[/inlmath] uzeta je gornja granica [inlmath]\sqrt{z+1}[/inlmath], jer iz jednačine paraboloida [inlmath]z=x^2+y^2-1[/inlmath] sledi da za neko fiksno [inlmath]z[/inlmath] važi [inlmath]x^2+y^2=z+1[/inlmath], što znači da je za neko fiksno [inlmath]z[/inlmath] poluprečnik posmatrane kružnice u toj ravni jednak [inlmath]\sqrt{z+1}[/inlmath].
Naravno, i na ovaj način se dobije rešenje [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath].
Jeste da bi bilo komplikovanije, ali može i preko Dekartovih koordinata, imajući u vidu simetričnost figure u odnosu na [inlmath]z[/inlmath]-osu, zbog čega možemo računati zapreminu samo one četvrtine figure za koju važi [inlmath]x>0[/inlmath] i [inlmath]y>0[/inlmath] i tako dobijenu zapreminu pomnožiti sa [inlmath]4[/inlmath],
[dispmath]V=4\int\limits_0^1\mathrm dz\int\limits_0^{\sqrt{z+1}}\sqrt{\left(\sqrt{z+1}\right)^2-x^2}\;\mathrm dx[/dispmath]
što takođe daje rešenje [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath].
.
