Nije loše malo provežbati integrale. Potrebni su u prvoj godini studija, gde god postoji matematika. Hteo sam da se podsetimo funkcije "signum", tj. "znak", koja se definiše ovako:
[dispmath]\mathrm{sgn}\:a=\begin{cases} -1, & a<0 \\ 0, & a=0 \\ 1, & a>0 \end{cases}[/dispmath]
Ovo je jedan stari i jako tipičan zadatak, na forumu ga ne nađoh, no ispravite me ako grešim:
[dispmath]I=\int\limits_0^ax^2\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx[/dispmath]
Smenom [inlmath]x=a\sin t[/inlmath] dobio sam (kasnije, uz neke trigonometrijske transformacije) rezultat:
[dispmath]I=\frac{\pi a^4}{16}\cdot\mathrm{sgn}\:a[/dispmath]
Da li sam u pravu?

Super je što si na ovo ukazao. Zaista je čest previd da se, kad se [inlmath]a^2[/inlmath] iz potkorene veličine izvlači ispred korena, to jednostavno piše kao [inlmath]a[/inlmath]. I, zaista, to super funkcioniše onda kad je u zadatku zadato da je [inlmath]a\ge0[/inlmath].
Međutim, kad je [inlmath]a[/inlmath] bilo koji realan broj, tj. kad ne znamo njegov predznak, tada se [inlmath]a^2[/inlmath], prilikom izvlačenja ispred korena, mora pisati kao [inlmath]\left|a\right|[/inlmath]. To je posledica identiteta [inlmath]\sqrt{a^2}=\left|a\right|[/inlmath].

Mislim da sam već dovoljno rekao, prepustio bih našim korisnicima da pokušaju da otkriju kako se u izrazu za rešenje ovog integrala pojavila signum funkcija.

---

Preporučio bih da pogledate i ovaj post. Jeste da nema veze s integralima (limesi su u pitanju), ali ima veze sa signum funkcijom, jer sam tu pokazao kako upotrebom signum funkcije možemo primeniti samo jedan postupak za nalaženje i leve i desne asimptote, a tek na kraju signum funkciju zameniti konkretnim vrednostima, [inlmath]-1[/inlmath] ili [inlmath]1[/inlmath] – što nam štedi i trud i vreme, kako ne bismo morali da ispisujemo dva odvojena postupka, za levu i za desnu asimptotu...