Naći integral

od **Daniel** » Utorak, 12. Februar 2013, 21:50

Ja vidim dve greške:

eseper je napisao:[inlmath]\int\frac{1}{e^x-4}\mathrm dx=\int\frac{1}{t}\mathrm dt[/inlmath]

OK, [inlmath]e^x-4[/inlmath] si zamenio sa [inlmath]t[/inlmath], to je u redu, ali umesto [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] ne treba da pišeš [inlmath]\mathrm dt[/inlmath], već [inlmath]\frac{\mathrm dt}{t+4}[/inlmath].

eseper je napisao:[inlmath]\int\frac{1}{t}\mathrm dt=\frac{1}{t+4}\ln|t|+C[/inlmath]

Ne znam otkud ti se stvorilo ovo [inlmath]\frac{1}{t+4}[/inlmath] u rezultatu?

Ajd da pretpostavim da si u koraku [inlmath]\int\frac{1}{t}\mathrm dt[/inlmath] greškom pri kucanju Latex komande izostavio [inlmath]\frac{1}{t+4}[/inlmath]. Ali, to nije konstanta pa da u sledećem koraku može da izađe ispred integrala, već će integral biti [inlmath]\int\frac{\mathrm dt}{t\left(t+4\right)}[/inlmath], a to radiš rastavljanjem na parcijalne razlomke...

od **eseper** » Utorak, 12. Februar 2013, 22:14

Evo rješio sam ispravno

Morat ću se ozbiljnije pozabaviti integralima :crazy:

od **eseper** » Nedelja, 17. Februar 2013, 18:39

Može li me neko uputiti u ovaj integral:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^(4)+4x^(2)+3}[/dispmath]
Može li se se ovo rješiti uvođenjem supstitucije ([inlmath]t[/inlmath]) ili se isključivo treba integrirati kao racionalna funkcija?
Ako je kao racionalna, kako nazivnik rastaviti na dva dijela (budući da ovakvog ne mogu odmah rješavati) ?

od **Daniel** » Nedelja, 17. Februar 2013, 19:28

Mislio si, verovatno, na ovaj integral?
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^4+4x^2+3}[/dispmath]
[inlmath]\left(x^4+4x^2+3\right)[/inlmath] možeš rastaviti tako što rešiš kvadratnu jednačinu po [inlmath]x^2[/inlmath], rešenja će joj biti [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]-3[/inlmath], pa će izraz u imeniocu moći da se napiše kao [inlmath]\left(x^2+1\right)\left(x^2+3\right)[/inlmath]. I to onda dalje rešavaš parcijalnim razlomcima...

Rešenje:
[dispmath]\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\:x-\frac{\sqrt 3}{6}\mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt 3}{3}x\right)+c[/dispmath]

od **eseper** » Nedelja, 17. Februar 2013, 20:03

Daniel je napisao:Mislio si, verovatno, na ovaj integral?
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^4+4x^2+3}[/dispmath]
[inlmath]\left(x^4+4x^2+3\right)[/inlmath] možeš rastaviti tako što rešiš kvadratnu jednačinu po [inlmath]x^2[/inlmath], rešenja će joj biti [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]-3[/inlmath], pa će izraz u imeniocu moći da se napiše kao [inlmath]\left(x^2+1\right)\left(x^2+3\right)[/inlmath]. I to onda dalje rešavaš parcijalnim razlomcima...

Rešenje:
[dispmath]\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\:x-\frac{\sqrt 3}{6}\mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt 3}{3}x\right)+c[/dispmath]

Hm, misliš trećim korakom s onog mog papira? (jer vidim da je rješenje na kraju [inlmath]\mathrm{arctg}[/inlmath], a kad su parcijalni razlomci obično bude [inlmath]\ln|\mathrm{nešto}|[/inlmath] ?

od **Daniel** » Nedelja, 17. Februar 2013, 20:15

Ne, mislim baš na parcijalne razlomke.

Ne treba ti taj treći red s tvog papira (stavio sam link da bi oni koji nekada budu ovo čitali znali o čemu se radi), jer ti je ovde jednostavnije, nemaš koeficijent uz linearni član, već samo uz kvadratni i uz slobodan član.
Lako se svodi na tablični integral [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}=\mathrm{arctg}\:x[/inlmath].

Kada smo u imeniocu imali izraze [inlmath]x+\mathrm{nešto}[/inlmath], to se svodilo na [inlmath]\ln\left|x+\mathrm{nešto}\right|[/inlmath], ali ovde imamo [inlmath]x^2+\mathrm{nešto}[/inlmath], u tome je razlika.

od **eseper** » Nedelja, 17. Februar 2013, 21:41

Može li postupak?

od **Milovan** » Nedelja, 17. Februar 2013, 22:01

Evo.

[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^4+4x^2+3}=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+3\right)}[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}-\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dx}{x^2+3}[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\:x-\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dx}{x^2+3}[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{2}\mathrm{arctg}\:x-\frac{\sqrt 3}{6}\mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt 3}{3}x\right)+C[/dispmath]

od **eseper** » Nedelja, 17. Februar 2013, 22:19

Hvala Milovane

Samo me zanima odakle ispred integrala [inlmath]\frac{1}{2}\int\dots[/inlmath]
U tabličnoj verziji stoji [inlmath]\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\dots[/inlmath]

od **Milovan** » Nedelja, 17. Februar 2013, 22:27

[dispmath]\frac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+3\right)}=\frac{A}{x^2+1}+\frac{B}{x^2+3}[/dispmath][dispmath]\frac{1}{(t+1)(t+3)}=\frac{A}{t+1}+\frac{B}{t+3}[/dispmath][dispmath]A(t+3)+B(t+1)=1[/dispmath][dispmath](A+B)t+3A+B=1[/dispmath]
Rešiš sistem:
[dispmath]3A+B=1\\
A+B=0[/dispmath]
Dobiješ:
[dispmath]A=\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]B=-\frac{1}{2}[/dispmath]
Vratiš:
[dispmath]\frac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+3\right)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+3}[/dispmath]

Naći integral

Re: Naći integral

Sharuj ovu temu na:

Re: Naći integral

Re: Naći integral

Re: Naći integral

Re: Naći integral

Re: Naći integral

Re: Naći integral

Re: Naći integral

Re: Naći integral

Re: Naći integral

Ko je OnLine