MATEMANIJA

Hitno mi je potrebno resenje ovog zadatka
[b]Ispitati konvergenciju sledeceg integrala
[dispmath]\int\limits_{-1}^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{x^2+\sqrt{x^4+1}}[/dispmath]
Nova sam na forumu, pa se bas i ne snalazzim najbolje, bicu puno zahvalna ako neku uspe da resi ivaj zadatak
Unapred zahvalna

Pozdrav, nova,
Reč hitno je na ovom forumu prilično nepoželjna. Pametno je ne ostavljati svoje obaveze za poslednji trenutak, pa onda neće biti ni hitno.
Na ovom forumu se koristi Latex za pisanje formula. Lako se nauči, ovde imaš uputstvo. Korigovao sam ti, ali da znaš radi budućih postova.
Takođe, pravilo je i da ne radimo zadatke, već pomažemo korisnicima da zadatke urade. To znači, kad postaviš neki zadatak, treba da nam pokažeš dokle si stigla s izradom, koje si ideje primenila, gde je nastao problem itd.
Upoznaj se i s ostalim tačkama forumskog Pravilnika.

Što se zadatka tiče, uoči da je izraz u imeniocu funkcija koja je neprekidna na celom zadatom intervalu, od [inlmath]-1[/inlmath] do [inlmath]+\infty[/inlmath]. Takođe, vrednost mu je uvek veća ili jednaka od jedinice, što znači da će vrednost integranda uvek biti manja ili jednaka od jedinice.
Pošto je donja granica integrala konačna vrednost, a i vrednost integranda je u celom intervalu konačna, konvergencija ovog integrala će zavisiti od ponašanja integranda na gornjoj granici, koja iznosi [inlmath]+\infty[/inlmath].
Za [inlmath]x\to +\infty[/inlmath] integrand je asimptotski ekvivalentan s funkcijom [inlmath]\frac{1}{2x^2}[/inlmath], čiji integral u beskonačnosti konvergira, pa odatle sledi da konvergira i zadati integral.

zahvaljujem se najlepse
pokusavala sam da uradim i ja zadatak, ali mi nije bas najjasnije kako da znam sa kojom tacno funkcijom uporedjujem datu.

Možemo uočiti da je sabirak s najvišim stepenom u imeniocu [inlmath]x^2[/inlmath], a i ono [inlmath]x^4[/inlmath] pod korenom, kad bi izašlo ispred korena, postalo bi [inlmath]x^2[/inlmath]. Znači, logično bi bilo da ceo taj izraz u imeniocu asimptotski uporedimo sa [inlmath]x^2[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2+\sqrt{x^4+1}}{x^2}=\lim_{x\to +\infty}\left(1+\sqrt{1+\cancelto{0}{\frac{1}{x^4}}}\right)=2[/dispmath]
što znači da bi bilo
[dispmath]\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2+\sqrt{x^4+1}}{2x^2}=1[/dispmath]
to jest, funkcija [inlmath]\frac{1}{x^2+\sqrt{x^4+1}}[/inlmath] bi u [inlmath]+\infty[/inlmath] bila asimptotski ekvivalentna funkciji [inlmath]\frac{1}{2x^2}[/inlmath].

Ako ti prethodna objašnjenja nisu bila dovoljna – evo nešto opširnije.

Razdvojimo polazni integral na dva integrala:
[dispmath]\int\limits_{-1}^{+\infty}\frac{1}{x^2+\sqrt{x^4+1}}\mathrm dx=\int\limits_{-1}^1\frac{1}{x^2+\sqrt{x^4+1}}\mathrm dx+\int\limits_1^{+\infty}\frac{1}{x^2+\sqrt{x^4+1}}\mathrm dx[/dispmath]
Prvi integral je konvergentan jer je funkcija [inlmath]\frac{1}{x^2+\sqrt{x^4+1}}[/inlmath] neprekidna na intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath] i prima samo konačne vrednosti. Samim tim, površina ispod grafika te funkcije za [inlmath]-1\le x\le 1[/inlmath] je takođe konačna. Kako je ta površina jednaka vrednosti samog integrala, sledi da je taj integral konvergentan.

Sada ispitajmo konvergenciju drugog. Pre toga, navešću detalje oko kriterujuma. Neka su [inlmath]f(x)[/inlmath] i [inlmath]g(x)[/inlmath] dve pozitivne funkcije ([inlmath]f(x)>0[/inlmath] i [inlmath]g(x)>0[/inlmath]) definisane na intervalu [inlmath][a,b][/inlmath] (pri čemu neka od vrednosti [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] može biti i beskonačna). Ako se funkcija nepravilno ponaša u nekoj od obodnih tačaka (dakle u nekoj od tačkaka [inlmath]x=a[/inlmath] ili [inlmath]x=b[/inlmath]) i ako je u okolini te tačke [inlmath]f(x)\sim g(x)[/inlmath], onda je integral [inlmath]\int\limits_a^bf(x)\mathrm dx[/inlmath] konvergentan ako i samo ako je i integral [inlmath]\int\limits_a^bg(x)\mathrm dx[/inlmath] konvergentan.
To da je [inlmath]f(x)\sim g(x)[/inlmath], uprošćeno rečeno znači da se u toj tački funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] i [inlmath]g(x)[/inlmath] slično ponašaju. Striktno govoreći, kažemo da je [inlmath]f(x)\sim g(x)[/inlmath] u okolini neke tačke [inlmath]a[/inlmath] akko [inlmath]\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1[/inlmath].

Ovde imamo podintegralnu funkciju [inlmath]f(x)=\frac{1}{x^2+\sqrt{x^4+1}}[/inlmath]. Neka je [inlmath]g(x)=\frac{1}{2x^2}[/inlmath]. Obe funkcije su pozitivne, neprekidne na intervalu integracije, jedina "osetljiva" tačka je u [inlmath]+\infty[/inlmath], pri čemu u njoj važi da je [inlmath]f(x)\sim g(x)[/inlmath] (što je Daniel pokazao detaljno u svom drugom postu na ovoj temi).

To znači da je [inlmath]\int\limits_1^{+\infty}\frac{1}{x^2+\sqrt{x^4+1}}\mathrm dx[/inlmath] konvergentan ako i samo ako je konvergentan i integral [inlmath]\int\limits_1^{+\infty}\frac{1}{2x^2}\mathrm dx[/inlmath].
Time dolazimo do tipičnog integrala [inlmath]\frac{1}{2}\int\limits_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\mathrm dx[/inlmath] koji je konvergentan. Stoga je konvergentan i [inlmath]\int\limits_1^{+\infty}\frac{1}{x^2+\sqrt{x^4+1}}\mathrm dx[/inlmath]. Najzad, konvergentan je i polazni integral.

Hvala vam na iscrpnom objasnjenu, sad sam razumela, nadam se da ubuduce necu imati problema sa tim
Samo da mi padne na ppamet neka ideja
Imam jos jedno pitanje , treba da se odredi integral .
Ja vidim da je ona neprekidna, sinx i cosx ne mogu u isto vreme da budu nule, pa integral sigurno postoji ali ne znam koju smenu bih uvela i kako resila?
\int_0^1007\pi 1\over|sinx|+|cosx|\mathrm dx

Pošto je to sasvim nov zadatak i nema veze s konvergencijom, njega ćemo u novoj temi. (Tačka 10. Pravilnika)