MATEMANIJA

Imam jos jedno pitanje , treba da se odredi integral .
Ja vidim da je ona neprekidna, [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath] ne mogu u isto vreme da budu nule, pa integral sigurno postoji ali ne znam koju smenu bih uvela i kako resila?
[dispmath]\int\limits_0^{1007\pi}\frac{1}{|\sin x|+|\cos x|}\mathrm dx[/dispmath]

Kad kucaš Latex-formulu potrebno je da je uokviriš odgovarajućim tagovima: inlinemath-tagovima ako želiš da se formula nalazi unutar teksta, a equation-tagovima ako želiš da formula bude istaknuta u poseban red. Piše u uputstvu na samom početku, verovatno ti je promaklo.

Pošto su i [inlmath]\sin x[/inlmath] i [inlmath]\cos x[/inlmath] periodične funkcije s periodom [inlmath]2\pi[/inlmath], to će i integrand [inlmath]\frac{1}{\left|\sin x\right|+\left|\cos x\right|}[/inlmath] takođe biti periodična funkcija s periodom [inlmath]2\pi[/inlmath].
To znači da će biti
[dispmath]\int\limits_{0}^{2\pi}\frac{\mathrm dx}{\left|\sin x\right|+\left|\cos x\right|}=\int\limits_{2\pi}^{4\pi}\frac{\mathrm dx}{\left|\sin x\right|+\left|\cos x\right|}=\int\limits_{4\pi}^{6\pi}\frac{\mathrm dx}{\left|\sin x\right|+\left|\cos x\right|}=\cdots[/dispmath]
pa zadati integral možeš razbiti na sledeće integrale:
[dispmath]\int\limits_0^{1007\pi}=\underbrace{\int\limits_0^{2\pi}+\int\limits_{2\pi}^{4\pi}+\int\limits_{4\pi}^{6\pi}+\cdots +\int\limits_{1004\pi}^{1006\pi}}_{503}+\int\limits_{1006\pi}^{1007\pi}=\underbrace{\int\limits_0^{2\pi}+\int\limits_0^{2\pi}+\int\limits_0^{2\pi}+\cdots +\int\limits_0^{2\pi}}_{503}+\int\limits_{1006\pi}^{1007\pi}[/dispmath]
a pošto je integral s granicama [inlmath]1006\pi[/inlmath] i [inlmath]1007\pi[/inlmath] jednak integralu s granicama [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]\pi[/inlmath],
[dispmath]\int\limits_0^{1007\pi}=503\int\limits_0^{2\pi}+\int\limits_{0}^{\pi}=503\left(\int\limits_0^{\pi}+\int\limits_{\pi}^{2\pi}\right)+\int\limits_{0}^{\pi}=504\int\limits_0^{\pi}+503\int\limits_{\pi}^{2\pi}[/dispmath]
Prilikom računanja ovih integrala podeliš ih na intervale u kojima je predznak sinusa i predznak kosinusa stalan, radi oslobađanja od apsolutne vrednosti. To su ona četiri kvadratna na trigonometrijskoj kružnici, tj. intervali [inlmath]\left(0,\frac{\pi}{2}\right),\:\left(\frac{\pi}{2},\pi\right),\:\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right),\:\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right)[/inlmath]. To ti se, zatim, svodi na rešavanje integrala funkcija [inlmath]\frac{1}{\sin x+\cos x}[/inlmath], [inlmath]\frac{1}{\sin x-\cos x}[/inlmath], [inlmath]\frac{1}{-\sin x-\cos x}[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{-\sin x+\cos x}[/inlmath].

Evo i malo elegantnijeg načina:

Pošto su [inlmath]\left|\sin x\right|[/inlmath] i [inlmath]\left|\cos x\right|[/inlmath] funkcije s periodom [inlmath]\pi[/inlmath], to će i period podintegralne funkcije [inlmath]\frac{1}{\left|\sin x\right|+\left|\cos x\right|}[/inlmath] biti [inlmath]\pi[/inlmath], pa integral možemo i ovako razložiti:
[dispmath]\int\limits_0^{1007\pi}\frac{\mathrm dx}{\left|\sin x\right|+\left|\cos x\right|}=\int\limits_0^{\pi}\frac{\mathrm dx}{\left|\sin x\right|+\left|\cos x\right|}+\int\limits_{\pi}^{2\pi}\frac{\mathrm dx}{\left|\sin x\right|+\left|\cos x\right|}+\cdots +\int\limits_{1006\pi}^{1007\pi}\frac{\mathrm dx}{\left|\sin x\right|+\left|\cos x\right|}[/dispmath][dispmath]\int\limits_0^{1007\pi}\frac{\mathrm dx}{\left|\sin x\right|+\left|\cos x\right|}=\underbrace{\int\limits_0^{\pi}\frac{\mathrm dx}{\left|\sin x\right|+\left|\cos x\right|}+\int\limits_0^{\pi}\frac{\mathrm dx}{\left|\sin x\right|+\left|\cos x\right|}+\cdots +\int\limits_0^{\pi}\frac{\mathrm dx}{\left|\sin x\right|+\left|\cos x\right|}}_{1007}[/dispmath][dispmath]\int\limits_0^{1007\pi}\frac{\mathrm dx}{\left|\sin x\right|+\left|\cos x\right|}=1007\int\limits_0^{\pi}\frac{\mathrm dx}{\left|\sin x\right|+\left|\cos x\right|}[/dispmath]
pri čemu je
[dispmath]\int\limits_0^{\pi}\frac{\mathrm dx}{\left|\sin x\right|+\left|\cos x\right|}=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\mathrm dx}{\left|\sin x\right|+\left|\cos x\right|}+\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\frac{\mathrm dx}{\left|\sin x\right|+\left|\cos x\right|}[/dispmath]
a pri tome znamo da važi

[inlmath]x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\quad\Rightarrow\quad\begin{array}{l}\sin x>0\\ \cos x>0\end{array}\quad\Rightarrow\quad\begin{array}{l}\left|\sin x\right|=\sin x\\ \left|\cos x\right|=\cos x\end{array}[/inlmath]

[inlmath]x\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\quad\Rightarrow\quad\begin{array}{l}\sin x>0\\ \cos x<0\end{array}\quad\Rightarrow\quad\begin{array}{l}\left|\sin x\right|=\sin x\\ \left|\cos x\right|=-\cos x\end{array}[/inlmath]

Drugi nacin mi je nekako prirodniji bio
A je l' smo mogli npr da za [inlmath]\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/inlmath] iskoristimo formulu za sinus zbira i izrazimo samo [inlmath]\sin x+\cos x[/inlmath] preko toga, a da nam smena bude onda [inlmath]t=x+\frac{\pi}{4}[/inlmath]?

To je sledeća faza, tek pošto se prethodno oslobodimo apsolutnih vrednosti. Tada možemo koristiti formulu [inlmath]\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/inlmath] da preko nje izrazimo [inlmath]\sin x+\cos x[/inlmath], odnosno formulu [inlmath]\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)[/inlmath] da preko nje izrazimo [inlmath]\sin x-\cos x[/inlmath]. Drugi način je da u formuli [inlmath]\sin x+\cos x[/inlmath], odnosno [inlmath]\sin x-\cos x[/inlmath], kosinus napišemo kao [inlmath]\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)[/inlmath], pa primenimo transformaciju zbira/razlike u proizvod.

Hvala puno na informacijama
Kolokvijum se blizi, tako da cu sigurno imati jos neko pitanjce