MATEMANIJA

8. Neka je [inlmath]f[/inlmath] neprekidna funkcija na segmentu [inlmath]\left[a,b\right][/inlmath]. Ako je grafik funkcije [inlmath]f[/inlmath] simetričan u odnosu na pravu [inlmath]x=\frac{a+b}{2}[/inlmath], dokazati da je [inlmath]\int\limits_a^bf\left(x\right)\mathrm dx=2\int\limits_a^{\frac{a+b}{2}}f\left(x\right)\mathrm dx=2\int\limits_{\frac{a+b}{2}}^bf\left(x\right)\mathrm dx[/inlmath].
9. Pronaći [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left(\sin\frac{\pi}{n}+\sin\frac{2\pi}{n}+\cdots +\sin\frac{\left(n-1\right)\pi}{n}\right)[/inlmath].
10. Funkcija [inlmath]f:\;\left[0,1\right]\to\mathbb{R}[/inlmath] integrabilna je na segmentu [inlmath]\left[0,1\right][/inlmath] i za svako [inlmath]x\in\left[0,1\right][/inlmath] važi: [inlmath]f\left(x\right)=1+\frac{1}{2}\int\limits_0^xf\left(t\right)\mathrm dt[/inlmath].
a) Dokazati da je funkcija [inlmath]f[/inlmath] diferencijabilna na segmentu [inlmath]\left[0,1\right][/inlmath];
b) Pronaći barem jedan primer ovakve funkcije [inlmath]f[/inlmath].

---

Zna li neko ove zadatke?
Meni cak ni ideja neka ne pada kako bih uradila ova prva dva. Treci sam i pokusavala nesto, ali ne ide

Podsetio bih te na clan 14 pravilnika.

Nisam bas nesto vesta u koriscenju Latexa, mislim da bi mi trebalo 3 sata da ispisem sve ono

U prvom zadatku iz uslova o simetricnosti imas da je [inlmath]f(x)=f(a+b-x)[/inlmath],onda [inlmath]\int\limits_a^bf(x)\mathrm dx=\int\limits_a^\frac{a+b}{2}f(x)\mathrm dx+\int\limits_\frac{a+b}{2}^bf(x)\mathrm dx[/inlmath],u drugom integralu iskoristis da je [inlmath]f(x)=f(a+b-x)[/inlmath] i uvedes smenu [inlmath]a+b-x=t[/inlmath],odatle ne bi trebalo da ti predstavlja problem,a u drugom mislim da moze da se resi preko Stolcove teoreme,nisam napisao potpuna resenja jer imam isti problem oko kucanja u latexu,ali nadam se da ti je ovo od pomoci
S obzirom na broj postova u poslednje vreme vidim da je spremanje za ispite u toku ,sta studirs uopste?

Pokusacu kasnije da uradim
Dobro vidis
Matematiku, sto je najgore
Ostala mi jos analiza pa se sa njom mucim

Znaci koleginica ,informatika pretpostavljam?Iz koje zbirke uopste vezbas?

Ne, ne, cista matematika
Pa kao literaturu sam nam dali zbirku Ljasko sa grupom autora jos nekih Rusa , i Milicic-Uscumlic
Ne zna se koja je bolja
Ti?

Isto cista matematika,kako onda niste radili Rabeov i Gausov kriterijum,oni su bas bitni,ja ti savetujem da i njih pogledas,a zbirka od Radenovica ti je dobra .Koja si grupa,s obzirom da smo mi imali juce kolokvijum iz analize?

Pa na pmf-u u Nisu to ocigledno nije u programu za kurs iz Analize 2

Ja sam mislio da si u Bg-u Srecno sa spremanjem analize

Kad si vec spomenuo da si juce imao kolokvijum, kakvi su zadaci bili ?
Hvala

Iskreno laksi nego sto sam ocekivao

Nadam se da ce i kod mene tako da bude, ali do sad nije

mathproblem je napisao:Nisam bas nesto vesta u koriscenju Latexa, mislim da bi mi trebalo 3 sata da ispisem sve ono

U tom slučaju, prema pomenutom članu Pravilnika, predviđena je mogućnost da se pre slanja poruke konsultuješ s nekim od moderatora, pa će ti on ili dati odobrenje da pošalješ zadatak u obliku slike, ili pomoći u pisanju Latex-a.

S obzirom na tvoju struku, poznavanje Latex-a će ti sigurno u životu biti od velike koristi, dakle, ovladavanje Latex-om (koji je, pri tome, vrlo jednostavan) i te kako se isplati.

Prekucao sam zadatke koje si okačila u tekst i u Latex.

coa je napisao:U prvom zadatku iz uslova o simetricnosti imas da je [inlmath]f(x)=f(a+b-x)[/inlmath],onda [inlmath]\int\limits_a^bf(x)\mathrm dx=\int\limits_a^\frac{a+b}{2}f(x)\mathrm dx+\int\limits_\frac{a+b}{2}^bf(x)\mathrm dx[/inlmath],u drugom integralu iskoristis da je [inlmath]f(x)=f(a+b-x)[/inlmath] i uvedes smenu [inlmath]a+b-x=t[/inlmath],odatle ne bi trebalo da ti predstavlja problem,a u drugom mislim da moze da se resi preko Stolcove teoreme,nisam napisao potpuna resenja jer imam isti problem oko kucanja u latexu,ali nadam se da ti je ovo od pomoci

Prvi bih i ja radio na isti način, a u drugom zadatku mislim da preko Štolca neće da može, jer imamo ono [inlmath]n[/inlmath] u imeniocima argumenata sinusa, koje nam mnogo smeta. Za [inlmath]a_{n+1}-a_n[/inlmath] bismo dobili
[dispmath]a_{n+1}-a_n=\sin\frac{\pi}{n+1}+\sin\frac{2\pi}{n+1}+\cdots +\sin\frac{\left(n-1\right)\pi}{n+1}+\sin\frac{n\pi}{n+1}-\sin\frac{\pi}{n}-\sin\frac{2\pi}{n}-\cdots -\sin\frac{\left(n-1\right)\pi}{n}[/dispmath]
i s time ne vidim da možemo bilo šta da uradimo, jer zbog različitih imenilaca u argumentima sinusa ([inlmath]n[/inlmath], odnosno [inlmath]n+1[/inlmath]), kraćenje nije moguće.

Umesto toga, možemo izračunati sumu sinusa unutar zagrade:
[dispmath]\sin\frac{\pi}{n}+\sin\frac{2\pi}{n}+\cdots +\sin\frac{\left(n-1\right)\pi}{n}=\sum_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{\sin\frac{\pi}{2n}}{\sin\frac{\pi}{2n}}\sum_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{1}{\sin\frac{\pi}{2n}}\sum_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}\sin\frac{\pi}{2n}=[/dispmath]
[dispmath]=-\frac{1}{2}\frac{1}{\sin\frac{\pi}{2n}}\sum_{k=1}^{n-1}\left[\cos\frac{\left(2k+1\right)\pi}{2n}-\cos\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n}\right]=\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{2n}}\sum_{k=1}^{n-1}\left[\cos\frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n}-\cos\frac{\left(2k+1\right)\pi}{2n}\right]=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{2n}}\left[\cos\frac{\pi}{2n}-\cancel{\cos\frac{3\pi}{2n}}+\cancel{\cos\frac{3\pi}{2n}}-\cancel{\cos\frac{5\pi}{2n}}+\cancel{\cos\frac{5\pi}{2n}}-\cancel{\cos\frac{7\pi}{2n}}+\cdots +\right.\\ \left.+\cancel{\cos\frac{\left(2n-5\right)\pi}{2n}}-\cancel{\cos\frac{\left(2n-3\right)\pi}{2n}}+\cancel{\cos\frac{\left(2n-3\right)\pi}{2n}}-\cos\frac{\left(2n-1\right)\pi}{2n}\right]=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{2n}}\left[\cos\frac{\pi}{2n}-\cos\frac{\left(2n-1\right)\pi}{2n}\right]=\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{2n}}\left[\cos\frac{\pi}{2n}-\cos\left(\pi-\frac{\pi}{2n}\right)\right]=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{2n}}\left(\cos\frac{\pi}{2n}+\cos\frac{\pi}{2n}\right)=\frac{1}{\cancel 2\sin\frac{\pi}{2n}}\cdot\cancel 2\cos\frac{\pi}{2n}=\mathrm{ctg}\frac{\pi}{2n}[/dispmath]
I sada, kad znamo da je cela suma sinusa unutar zagrade jednaka [inlmath]\mathrm{ctg}\frac{\pi}{2n}[/inlmath], nalaženje traženog limesa je trivijalno i dobija se rezultat [inlmath]\frac{2}{\pi}[/inlmath].

mathproblem je napisao:10. Funkcija [inlmath]f:\;\left[0,1\right]\to\mathbb{R}[/inlmath] integrabilna je na segmentu [inlmath]\left[0,1\right][/inlmath] i za svako [inlmath]x\in\left[0,1\right][/inlmath] važi: [inlmath]f\left(x\right)=1+\frac{1}{2}\int\limits_0^xf\left(t\right)\mathrm dt[/inlmath].
a) Dokazati da je funkcija [inlmath]f[/inlmath] diferencijabilna na segmentu [inlmath]\left[0,1\right][/inlmath];
b) Pronaći barem jedan primer ovakve funkcije [inlmath]f[/inlmath].

a) Diferenciranjem obe strane jednakosti [inlmath]f\left(x\right)=1+\frac{1}{2}\int\limits_0^xf\left(t\right)\mathrm dt[/inlmath], pošto je izvod jedinice, kao konstante, jednak nuli, a [inlmath]\left(\int\limits_0^xf\left(t\right)\mathrm dt\right)'=f\left(x\right)[/inlmath], dolazimo do jednakosti [inlmath]f'\left(x\right)=f\left(x\right)[/inlmath]. Pošto je, po uslovu zadatka, funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] definisana na intervalu [inlmath]\left[0,1\right][/inlmath], sledi da je na istom intervalu definisan i njen izvod [inlmath]f'\left(x\right)[/inlmath], tj. funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] je diferencijabilna na tom intervalu.

b) Obeležimo funkciju [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] sa [inlmath]y[/inlmath]. Dobijamo diferencijalnu jednačinu
[dispmath]y'=y[/dispmath][dispmath]\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=y[/dispmath]
koju rešavamo razdvajanjem promenljivih i čije je rešenje
[dispmath]y=ce^{\frac{x}{2}}[/dispmath]
Vrednost konstante [inlmath]c[/inlmath] određujemo tako što [inlmath]ce^{\frac{x}{2}}[/inlmath] uvrstimo umesto [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] u jednakost [inlmath]f\left(x\right)=1+\frac{1}{2}\int\limits_0^xf\left(t\right)\mathrm dt[/inlmath] i zatim rešavamo dobijenu jednačinu po [inlmath]c[/inlmath]. Dobije se [inlmath]c=1[/inlmath], dakle, [inlmath]f\left(x\right)=e^{\frac{x}{2}}[/inlmath].

Postoji li neki drugi nacin da se nadje primer funkcije?
Posto mi nismo radili difrencijalne jednacine, pa bas i ne znam koliko bi nam asistent prihvatio resenje?

Postoji, tako što primetiš da na levoj strani jednakosti imaš funkciju, a na desnoj strani integral te funkcije, pa ti se logički nameće da je ta funkcija eksponencijalna, budući da upravo eksponencijalna funkcija, kad se integrali, ostaje – eksponencijalna funkcija. Znači, pretpostaviš opšti oblik [inlmath]f\left(x\right)=ae^{bx},\;a,b\in\mathbb{R},\;b\ne 0[/inlmath] i uvrstiš je u [inlmath]f\left(x\right)=1+\frac{1}{2}\int\limits_0^xf\left(t\right)\mathrm dt[/inlmath], radi određivanja vrednosti koeficijenata [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. Dobije se [inlmath]a=1,\;b=\frac{1}{2}[/inlmath], tj. [inlmath]f\left(x\right)=e^{\frac{x}{2}}[/inlmath].

Možeš pretpostaviti i još opštiji slučaj eksponencijalne funkcije, [inlmath]f\left(x\right)=ab^{cx},\;a,c\in\mathbb{R},\;b\in\mathbb{R}^+,\;c\ne 0[/inlmath] i, posle uvrštavanja u [inlmath]f\left(x\right)=1+\frac{1}{2}\int\limits_0^xf\left(t\right)\mathrm dt[/inlmath], opet ćeš dobiti da je jedino rešenje [inlmath]f\left(x\right)=e^{\frac{x}{2}}[/inlmath].