MATEMANIJA

Ispitati konvergenciju integrala: [inlmath]\int\limits_1^3\frac{\mathrm dx}{x^2-6x+8}[/inlmath]
[dispmath]\int\limits_1^3\frac{\mathrm dx}{x^2-6x+8}=\int\limits_1^3\frac{\mathrm dx}{\left(x-4\right)-\left(x-2\right)}=\int\limits_1^3\frac{1}{\left(x-4\right)}\cdot\frac{1}{\left(x-2\right)}\mathrm dx=\int\limits_1^3\frac{A}{\left(x-4\right)}+\int\limits_1^3\frac{B}{\left(x-2\right)}[/dispmath]
Znam da je [inlmath]A=\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]B=-\frac{1}{2}[/inlmath]
Sta bih mogao dalje, ba bih ispitao gde je f-ja neodredjena

Imaš ovde par neispravnih koraka, ali pretpostaviću da je do nesnalaženja u Latexu, pošto je rezultat koji navodiš kao konačni tačan.

Dakle:
[dispmath]\int\limits_1^3\frac{1}{x^2-6x+8}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\limits_1^3\frac{1}{x-4}\mathrm{d}x-\frac{1}{2}\int\limits_1^3\frac{1}{x-2}\mathrm{d}x[/dispmath]
Kako je:
[dispmath]x^2-6x+8=x^2-6x+9-1=(x-3)^2-1=(x-3-1)(x-3+1)=(x-4)(x-2)[/dispmath]
Podintegralna funkcija polaznog integrala nije definisana u tački [inlmath]2[/inlmath] koja pripada oblasti integracije. Nakon razdvajanja na dve funkcije, imamo situaciju da je prva podintegralna funkcija definisana u celoj oblasti integracije, a druga nije.

Za prvi integral se lako dobija da je [inlmath]\frac{1}{2}\int\limits_1^3\frac{1}{x-4}\mathrm{d}x=-\frac{\ln 3}{2}[/inlmath].

Za drugi:
[dispmath]\frac{1}{2}\int\limits_1^3\frac{1}{x-2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\lim_{\varepsilon\to 0}\int\limits_1^{2-\varepsilon}\frac{1}{x-2}\mathrm{d}x+\frac{1}{2}\lim_{\delta\to 0}\int\limits_{2+\delta}^3\frac{1}{x-2}\mathrm{d}x[/dispmath]
Rešimo oba integrala:
[dispmath]\lim_{\varepsilon\to 0}\int\limits_1^{2-\varepsilon}\frac{1}{x-2}\mathrm{d}x=\lim_{\varepsilon\to 0}\ln\varepsilon-\ln 1=-\infty[/dispmath][dispmath]\lim_{\delta\to 0}\int\limits_{2+\delta}^3\frac{1}{x-2}\mathrm{d}x=\ln 1-\lim_{\delta\to 0}\ln\delta=+\infty[/dispmath]
Zaključujemo da je polazni integral divergentan.

Košijeva glavna vrednost je ovde:
[dispmath]\frac{1}{2}\int\limits_1^3\frac{1}{x-2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\lim_{\varepsilon\to 0}\int\limits_1^{2-\varepsilon}\frac{1}{x-2}\mathrm{d}x+\frac{1}{2}\lim_{\varepsilon\to 0}\int\limits_{2+\varepsilon}^3\frac{1}{x-2}\mathrm{d}x=\\
=\frac{1}{2}\left(\left(\lim_{\varepsilon\to 0}\ln\varepsilon-\ln 1\right)+\left(\ln 1-\lim_{\varepsilon\to 0}\ln\varepsilon\right)\right)=0[/dispmath]
Pa je Košijeva glavna vrednost polaznog integrala [inlmath]-\frac{\ln 3}{2}[/inlmath].